第五节椭圆A组基础题组1.已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是()A.x216+y27=1B.x216+y27=1或x27+y216=1C.x216+y225=1D.x216+y225=1或x225+y216=1答案B因为a=4,e=34,所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.因为焦点的位置不确定,所以椭圆的标准方程是x216+y27=1或x27+y216=1.2.(2018贵州六盘水模拟)已知点F1,F2分别是椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点,若点P在椭圆C上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=()A.4B.6C.8D.12答案A由|PF1|+|PF2|=4,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos60°=|F1F2|2,得3|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|·|PF2|=4,故选A.3.如图,椭圆x2a2+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,P点在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为()A.2B.3C.4D.5答案B由题意知b2=2,c=❑√a2-2,故|F1F2|=2❑√a2-2,又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-4,由余弦定理得cos120°=42+(2a-4)2-(2❑√a2-2)22×4×(2a-4)=-12,化简得8a=24,即a=3.故选B.4.已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,PF⊥x轴.|PF|=14|AF|,则该椭圆的离心率为()A.14B.34C.12D.❑√32答案B由题意可知点P的横坐标是-c,代入椭圆方程,有c2a2+y2b2=1,得y=±b2a,又|PF|=14|AF|,即b2a=14(a+c),化简得4c2+ac-3a2=0,即4e2+e-3=0,解得e=34或e=-1(舍去).5.(2019湖北武汉调研)一个椭圆的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,P(2,❑√3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为.答案x28+y26=1解析 椭圆的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,∴可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0), P(2,❑√3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,∴{4a2+3b2=1,2a=4c,又a2=b2+c2,∴a=2❑√2,b=❑√6,c=❑√2,∴椭圆方程为x28+y26=1.6.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是.答案(0,❑√32]解析根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以a=2.又d=|3×0-4×b|❑√32+(-4)2≥45,所以1≤b<2.又e=ca=❑√1-b2a2=❑√1-b24,所以0b>0).由题意得{a=2,ca=❑√32,解得c=❑√3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率kDE=-m+2n.所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m).直线BN的方程为y=n2-m(x-2).联立{y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又S△BDE=12|BD|·|yE|=25|BD|·|n|,S△BDN=12|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.8.(2018陕西西安模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.(1)若e=❑√32,求椭圆的方程;(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且❑√22b>0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为b3,则椭圆的离心率为()A.14B.13C.12D.23答案C由题意得12×2c·b=12(2a...
