第2课时等比数列的性质[A基础达标]1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：选D.由于公比q＝－<0，所以数列{an}是摆动数列．2．等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a3a6＋a4a5的值是()A．1B．2C.D．解析：选C.a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×＝，所以a3a6＋a4a5＝.3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于()A．10B．25C．50D．75解析：选B.法一：因为a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5，所以a8·a9·a10·a11＝52＝25.法二：由已知得a1q6·a1q11＝aq17＝5，所以a8·a9·a10·a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝a·q34＝(aq17)2＝25.4．计算机的价格不断降低，若每件计算机的价格每年降低，现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为()A．300元B．900元C．2400元D．3600元解析：选C.降低后的价格构成以为公比的等比数列．则现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为8100×＝2400(元)．5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．16解析：选C.等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.6．在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________．解析：因为a6a10＝a，a3a5＝a，所以a＋a＝41.又因为a4a8＝5，an>0，所以a4＋a8＝＝＝.答案：7．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a，b，则解得或所以这个未知数为3或27.1答案：3或278．设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列．且，，成等差数列，则＋的值是________．解析：由题意可得所以y＝，所以＝135xz，化简得15x2＋15z2＝34xz，两边同时除以15xz可得＋＝.答案：9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数和为6，求这三个数．解：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，所以a＝2，这三个数可表示为2－d，2，2＋d，①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4，2，8.②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8，2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，所以d＝0(舍去)．综上可求得此三数为－4，2，8.10．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列(n≥2，n∈N＋)的前n项和．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a＝9a2a6＝9a，所以q2＝＝，因为an＞0，所以q＞0，所以q＝，因为2a1＋3a2＝2a1＋3a1q＝1，所以3a1＝1，a1＝，所以an＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝log3(a1·a2·…·an)＝log3＝－.设数列的前n项和为Sn，则Sn＝－2＝－2＝－2＝－.[B能力提升]11．数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝()A．20B．512C．1013D．1024解析：选D.因为bn＝，且b10·b11＝2，又{bn}是等比数列，所以b1·b20＝b2·b19＝…＝b10·b11＝2，则··…＝b1b2b3…b20＝210，即＝1024，从而a21＝1024a1＝1024.12．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________．2解析：因为＋＝，＋＝，又a8a9＝a7a10，所以＋＋＋＝＝＝－.答案：－13．如图所示，在边长为1的等边三角形A1B1C1中，连接各边中点得△A2B2C2，再连接△A2B2C2的各边中点得△A3B3C3，…，如此继续下去，试证明数列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比数列．证明：由题意，得△AnBnCn(n＝1，2，3…)的边长AnBn构成首项为1，公比为的等比数列，故AnBn＝，所以S△AnBnCn＝，所以＝＝.因此，数列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比数列．14．(选做题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m，k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.由已知，得即解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N＋)．(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列．则b＝b1bk.因为bn＝＝，所以b1＝，bm＝，bk＝，所以＝×.整理，得k＝.以下给出求m，k的方法：因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，解得1－
