课时作业23正余弦定理的应用举例一、选择题1．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1千米B．2sin10°千米C．2cos10°千米D．cos20°千米解析：由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°，＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°.∴BD＝2cos10°.答案：C2．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是()A．35海里B．35海里C．35海里D．70海里解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝＝＝70.答案：D3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是()A．5海里/时B．5海里/时C．10海里/时D．10海里/时解析：如图，A，B为灯塔，船从O航行到O′，＝tan30°，＝tan15°，∴BO＝OO′，AO＝(2＋)OO′. AO－BO＝AB＝10，∴OO′·[(2＋)－]＝10.∴OO′＝5.∴船的速度为＝10海里/时．答案：C4．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．50mB．50mC．25mD.m解析：由正弦定理，得AB＝＝＝50(m)．答案：A5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m解析：设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°.即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.答案：A6．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处求援，则cosθ等于()A.B.C.D.解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°，＝402＋202－2×40×20×＝2800，所以BC＝20.由正弦定理得，sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角．故cos∠ACB＝.故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACB·sin30°＝.答案：B7．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为()A.B．2C．2或D．3解析：如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.答案：C8．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，如图所示，则塔高CB为()A.mB.mC.mD.m解析：由已知：在Rt△OAC中，OA＝200，∠OAC＝30°，则OC＝OA·tan∠OAC＝200tan30°＝.在Rt△ABD中，AD＝，∠BAD＝30°，BD＝AD·tan∠BAD＝tan30°＝，又 DC＝OA＝200，∴CB＝DC－BD＝200－＝.答案：A9．(2016·云南调研)如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，则乙船的速度为()A．25海里/小时B．25海里/小时C．30海里/小时D．30海里/小时解析：如图，连接A1B2，由题知A1A2＝30×＝10，A2B2＝10，又∠A1A2B2＝60°，∴△A1A2B2为正三角形，从而A1B2＝10，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，又A1B1＝20，在△B1A1B2中，由余弦定理，得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.∴B1B2＝10，∴乙船的速度为×60＝30(海里/小时)．答案：D10．(...
