高二数学合情推理与演绎推理（理）人教实验版（A）知识精讲VIP专享VIP免费

高二数学合情推理与演绎推理（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：合情推理与演绎推理二.重点、难点1.合情推理（猜想，不一定正确）经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。（1）归纳推理：（由个别到一般）由某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。（2）类比推理：（由特殊到特殊）由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。2.演绎推理（由一般到特殊）从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。【典型例题】[例1]在数列中，，试猜想这个数列的通项公式。分析：根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项。解：，，，，……∴的通项公式[例2]已知数列的前n项和为，且，计算，并猜想的表达式。解析：先化简递推关系：时，∴∴当n=1时，当n=2时，用心爱心专心∴当n=3时，∴当n=4时，∴猜想：[例3]在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为（每次注入的溶液浓度都是p%），计算，并归纳出的计算公式。解：∴归纳得[例4]在Rt△ABC中，若∠C=90°，则，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想。分析：考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体P—ABC，且三个面与面ABC所成的二面角分别是。解：如图，在Rt△ABC中于是把结论类比到四面体P—ABC中，我们猜想，三棱锥P—ABC中，若三个侧面PAB、PBC、PCA两两互相垂直且分别与底面所成的角为。用心爱心专心由此可猜想出四面体性质为：[例5]△DEF中有余弦定理：。拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。分析：根据类比猜想得出其中为侧面为与所成的二面角的平面角证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则∠DFE为面与面所成角∠DEF中有余弦定理：同乘以，得即[例6]在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式成立。解析：解法1：从分析所提供的性质入手：由，可得，因而当时，有而=0∴等式成立，同理可得时的情形由此可知：等差数列之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：类似地，在等比数列中，也有性质：用心爱心专心因而得到答案：[例7]设m为实数，求证：方程没有实数根。证明：已知方程的判别式所以方程没有实数根点评：（1）“如果，若p真则q真”的推理形式为假言推理，它也是演绎推理的一种。此推理过程用三段论表述为：大前提：如果一元二次方程的判别式，那么这个方程没有实数根；小前提：一元二次方程的判别式；结论：一元二次方程没有实数根。[例8]设均为正数，求证：证明： ，，∴[例9]已知实数p满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明。由解得，所以，方程的判别式，因为，所以，所以，因此得方程无实根。[例10]证明函数的值恒为正数。证明：当时，各项都为正数，因此，当时，为正数；当时，；当时，综上所述，函数的值恒为正数[例11]已知是不为1的正数，，且有和，求证：成等比数列。证：令且∴用心爱心专心 ∴∴∴∴成等比数列[例12]已知是各项均为正数的等差数列，成等差数列，又，证明：为等比数列。证明：因为成等差数列，所以即设等差数列的公差为d，则所以从而若d=0，则为常数列，相应也是常数列，此时是以首项为正数，公比为1的等比数列若，则，这时是首项为，公比为的等比数列。所以综上知为等比数列。[例13]求证函数是奇数，且在定义域上是增函数。证明：（1） ，定义域为∴即∴是奇函数（2）任取，且则用心爱心专心 ∴，从而∴，故为增函数【模拟试题】1.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形...