高二数学（理）高三新课：离散型随机变量的期望和方差人教版知识精讲VIP专享VIP免费

高二数学（理）高三新课：离散型随机变量的期望和方差人教版【本讲教育信息】一.教学内容：高三新课：离散型随机变量的期望和方差二.本周教学重、难点：1.期望：（1）计算公式：（2）性质：①②若（），则③若服从几何分布且，则2.方差：（1）计算公式：（2）性质：①②若，则③若服从几何分布且，则④【典型例题】[例1]某射手射击所得环数的分布列45678910P0.020.040.060.090.280.290.22试估计该射手次射击的平均环数。解：根据这名射手射击所得环数的分布列，在次射击中预计大约有次得4环，次得5环，……次得10环，次射击总环数约等于，从而平均环数等于，即[例2]某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习。若某射手在某组练习中射击一次的命中概率用心爱心专心为0.8，求在这组练习中耗用子弹数的分布列，并求出的期望值和方差值。（结果保留两位小数）解：该组练习耗用的子弹数为随机变量，可以取值为1，2，3，4，5。设第次击中目标，则前次就未击中目标。=1，表示第一发即中，故概率为P（=1）=0.8;=2，表示第一发未中，第二发命中，故P（=2）=（1－0.8）×0.8=0.2×0.8=0.16；=3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P（=3）=；=4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故P（=4）=；=5，表示第五发命中与否均可，故P（=5）=。因此，的分布列如下表所示：12345P0.80.160.0320.00640.0016[例3]射手甲、乙在同一条件下进行射击，分布列如下：甲：击中环数8910概率P0.20.60.2乙：击中环数8910概率P0.40.20.4比较其水平解：因为，，可知甲、乙射手所得环数的平均值相近，均为9环左右，但甲所得环数比较集中，9环较多；乙所得环数比较分散，得8环和10环较多，甲射手比较稳定。用心爱心专心[例4]A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是，，，B队队员是，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率对对对现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队B队最后所得总分分别为、（1）求、的概率分布，（2）求解：（1）、的可能取值分别为3，2，1，0据题意知，所以，=，，，（2）；因为，所以。[例5]设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜出，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假定A、B两队在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望。解：随机变量表示比赛场数，根据题意：“有一队胜4场比赛才宣告结束”，故的取用心爱心专心值应是4，5，6，7，把一次比赛看作一次试验，故场（4，5，6，7）比赛视为次独立重复试验。=4表示甲胜4场或乙胜4场，且两两互斥。∴=5表示甲队第5场胜且前4场中胜3场，或乙队第5场胜且前4场中胜3场。∴类似地比赛场数的分布列为：4567P∴[例6]若是离散型随机变量，，，且，已知，，求的分布列。解：依题意，只取两个值与，于是有，。从而得方程组，解得或因为，所以，因此的分布列为12P[例7]若随机事件A在1次试验中发生的概率为，用随机变量表示A在1次试验中发生的次数。（1）求方差的最大值；（2）求的最大值。解：随机变量的所有可能取值为0，1。并且有，P（=0）=，从而E=用心爱心专心，D=（1），因为，所以当时，D取得最大值，最大值为。（2），因为，所以。当，即时，取“=”。因此，当时，取得最大值[例8]已知随机变量的概率分布列为：P（=）=（1，2，3，…且），求证。证明：因为，所以。令+…①，②，①－②得，即，所以，所以。[例9]A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止，设表示游戏终止时掷硬币的次数。（1）求的取值范围；（2）求的数学期望E。解：（1）设正面出现的次数为，反面出现的次数为，则，可得：当，或，时，=5；当或时，=7；当或时，=9；所以的所有可能取值为：5，7，9。（2）P（=5）=；P（=7）=；P（=9）=；E=。【模拟试题】一.选择题：1.随机变量的分布列为，则=（）A.15B.11C.2.2D.2.32.已知，，则与的值分别为...