课时作业50证明平行与垂直一、选择题1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)解析：若l∥α，则a·n＝0，D中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0，∴a⊥n.答案：D2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A.B.C.D.解析：因为A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，所以AB―→＝(－1，1，0)，AC―→＝(－1，0，1)．经验证，当n＝时，n·AB―→＝－＋0＝0，n·AC―→＝＋0－＝0，故选D.答案：D3．若AB―→＝λCD―→＋μCE―→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D.平行或在平面内解析： AB―→＝λCD―→＋μCE―→，∴AB―→，CD―→，CE―→共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．答案：D4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对解析：以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，依题意，可得D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0)．∴PM―→＝(，2，0)－(0，1，)＝(，1，－)，AM―→＝(，2，0)－(2，0，0)＝(－，2，0)，∴PM―→·AM―→＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，即PM―→⊥AM―→，∴AM⊥PM.答案：C5．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()A．(1，1，1)B.C.D.解析：设AC∩BD＝O，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点．在空间坐标系，E(0，0，1)，F(，，1)．由中点坐标公式，知点M的坐标.答案：C6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则()A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A1D―→＝(－1，0，－1)，AC―→＝(－1，1，0)，EF―→＝，BD1―→＝(－1，－1，1)，EF―→＝－BD1―→，A1D―→·EF―→＝AC―→·EF―→＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.答案：B二、填空题7．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)．则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．解析：AB―→＝(0，1，－1)，AC―→＝(1，0，－1)，∴n·AB―→＝0，n·AC―→＝0，∴n⊥AB―→，n⊥AC―→，故n也是α的一个法向量．又 α与β不重合，∴α∥β.答案：平行8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB―→＝(2，－1，－4)，AD―→＝(4，2，0)，AP―→＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP―→是平面ABCD的法向量；④AP―→∥BD―→.其中正确的是________．解析： AB―→·AP―→＝0，AD―→·AP―→＝0.∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又AB―→与AD―→不平行，∴AP―→是平面ABCD的法向量，则③正确．由于BD―→＝AD―→－AB―→＝(2，3，4)，AP―→＝(－1，2，－1)，∴BD―→与AP―→不平行，故④错误．答案：①②③9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．解析：以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，所以B1E―→＝(x－1，0，1)，又F(0，0，1－y)，B(1，1，1)，所以FB―→＝(1，1，y)，由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需FB―→·B1E―→＝(1，1，y)·(x－1，0，1)＝0⇒x＋y＝1.答案：1三、解答题10．如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A...
