数学思想专项训练(一)函数与方程思想一、选择题1．已知函数f(x)＝lnx－x－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－1]B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－1，＋∞)2．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪，则a等于()A．2B．－2C．－D.3．(2015·天津六校联考)若等差数列{an}满足a＋a≤10，则S＝a100＋a101＋…＋a199的最大值为()A．600B．500C．400D．2004．已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，则使x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为()A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)5．(2015·黄冈质检)已知点A是椭圆＋＝1上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且·＝48，则点P的横坐标的最大值为()A．18B．15C．10D.6．(2015·杭州二模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，则()A．Sn的最大值是S8B．Sn的最小值是S8C．Sn的最大值是S7D．Sn的最小值是S7二、填空题7．已知f(x)为定义在R上的增函数，且对任意的x∈R，都有f[f(x)－2x]＝3，则f(3)＝________.8．已知奇函数f(x)的定义域为R，当x＞0时，f(x)＝2x－x2.若x∈[a，b]时，函数f(x)的值域为，则ab＝________.9．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．10．(2015·东城期末)若函数f(x)＝m－的定义域为[a，b]，值域为[a，b]，则实数m的取值范围是________．二、解答题11.如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.记CD＝x，V(x)表示四棱锥FABCD的体积．(1)求V(x)的表达式；(2)求V(x)的最大值．12．设P是椭圆＋y2＝1(a>1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值．答案1．选B函数f(x)＝lnx－x－a的零点即关于x的方程lnx－x－a＝0的实根，将方程化为lnx＝x＋a，令y1＝lnx，y2＝x＋a，由导数知识可知当两曲线相切时有a＝－1.若函数f(x)＝lnx－x－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围为(－∞，－1)．2．选B根据不等式与对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋(a－1)x－1＝0的两个根，所以－1×＝－，所以a＝－2，故选B.3．选BS＝a100＋a101＋…＋a199＝100a100＋d＝100(a1＋99d)＋d，即99d＝－a1，因为a＋a≤10，即a＋(a1＋99d)2≤10，整理得a＋2≤10，即a＋a1＋2－10≤0有解，所以Δ＝2－4×≥0，解得－500≤S≤500，所以Smax＝500，故选B.4．选D x∈[2,16]，∴f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]．不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立，设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在[1,4]上恒大于0，所以即解得x＜－2或x＞2.5．选C当点P的横坐标最大时，射线OA的斜率k＞0，设OA：y＝kx，k＞0，与椭圆＋＝1联立解得xA＝.又·＝xAxP＋k2xAxP＝48，解得xP＝＝＝，令9＋25k2＝t＞9，即k2＝，则xP＝＝×25＝80≤80×＝10，当且仅当t＝16，即k2＝时取等号，所以点P的横坐标的最大值为10，故选C.6．选D由(n＋1)Sn＜nSn＋1得(n＋1)＜n，整理得an＜an＋1，所以等差数列{an}是递增数列，又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，所以数列{an}的前7项为负值，即Sn的最小值是S7.故选D.7．解析：设f(x)－2x＝t，则f(t)＝3，f(x)＝2x＋t，所以2t＋t＝3，易得方程2t＋t＝3有唯一解t＝1，所以f(x)＝2x＋1，所以f(3)＝9.答案：98．解析：由题意知a＜b，且＞，则a，b同号，当x＞0时，f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，若0＜a＜b，则≤1，即a≥1.因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以解得所以ab＝.由f(x)是奇函数知，当x＜0时，f(x)＝x2＋2x，同理可知，当a＜b＜0时，解得所以ab＝.综上，ab＝.答案：9．解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a＜b＜c＜d＜e.由平均数及方差的公式得＝7，＝4.设a－7，b－7，c－7，d－7，e－7分别为p，q，r，s，t，则p，q，r，s，t均为整数，且设f(x)＝(x－p)2＋(x－q)2＋(x－r)2＋(x－s)2＝4x2－2(p＋q＋r＋s)x＋(p2＋q2＋r2＋s2)＝4x2＋2tx＋20...
