高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质学业分层测评 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学试题VIP免费

学业分层测评(九)双曲线的几何性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是________.【解析】令x2－＝0，则y＝±x.【答案】y＝±x2.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于________.【解析】双曲线方程化为标准形式：y2－＝1，则有：a2＝1，b2＝－，由题设条件知，2＝，∴m＝－.【答案】－3.对于方程－y2＝1和－y2＝λ(λ＞0且λ≠1)所表示的双曲线有如下结论：(1)有相同的顶点；(2)有相同的焦点；(3)有相同的离心率；(4)有相同的渐近线.其中正确的是________.【解析】对于方程－y2＝1，a＝2，b＝1，c＝；对于方程－y2＝λ，a′＝2，b′＝，c′＝，显然a′、b′、c′分别是a、b、c的倍，因此有相同的离心率和渐近线.【答案】(3)(4)4.已知双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为________.【解析】 e＝＝2，c＝4，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12，且焦点在x轴上，故标准方程为－＝1.【答案】－＝15.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为________.【解析】由e＝，得＝，∴c＝a，b＝＝a.而－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，∴所求渐近线方程为y＝±x.【答案】y＝±x6.与椭圆＋＝1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为________.【解析】椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c＝4，e＝，∴双曲线的离心率等于－＝2，∴＝2，∴a＝2.∴b2＝42－22＝12.∴双曲线的标准方程为－＝1.【答案】－＝17.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为________.【导学号：24830042】【解析】由已知得，双曲线焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，∴双曲线方程为－＝1.∴渐近线方程为－＝0，即±＝0.【答案】4x±3y＝08.(2016·徐州高二检测)已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是________.1【解析】如图，设MF1的中点为P，由题意知MF1⊥PF2.在Rt△PF1F2中，PF2＝F1F2·sin60°＝2c·＝c.PF1＝F1F2·cos60°＝2c·＝c， PF2－PF1＝2a，∴a＝c.∴e＝＝＝＋1.【答案】＋1二、解答题9.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【解】将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝，因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程：y＝±x＝±x.10.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)虚轴长为12，离心率为；(2)一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3).【解】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0).由题知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴标准方程为－＝1或－＝1.(2)方法一： 双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2＜yP＝3.∴双曲线的焦点在y轴上.从而有＝，∴b＝2a.设双曲线方程为－＝1，由于点P(4,3)在此双曲线上，∴－＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为－＝1.方法二： 双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0.设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， 双曲线过点P(4,3)，∴－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为－y2＝－5，即－＝1.能力提升]1.双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________.【解析】由双曲线－＝1，知a＝2，b＝2，c＝4，∴焦点F1(－4,0)，F2(4,0)，渐近线方程y＝±x.由双曲线对称性知，任一焦点到任一渐近线的距离都相等.∴d＝＝2.【答案】22.(2016·临沂高二检测)已知点F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________.【解析】如图所示.由于∠F1AB＝∠F1BA，△ABF1为锐角三角形，故∠AF1B为锐角.故只需要∠AF1F2<45°即可，即<1，∴＝<1即c2－a2<2ac.即e2－2e－1<0，解得1－1，故1