3．2.4空间向量与空间距离1.空间中的距离主要有：_______________________________________________________________________________________________________________________________.2．若已知点A到平面α上一点M的距离，则点A到平面α的距离|AB|就是向量____________在平面α的法向量u上的投影，即|AB|＝|AM|或|AB|＝.3．线面距、面面距全可以转化为________距来进行解答．4．定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的________．5．定义：两条异面直线的________夹在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．6．设l1，l2是两条异面直线，n是l1和l2的公垂线AB的方向向量，又C，D分别是l1和l2上的任意两点，则l1和l2的距离是d＝|AB|＝.想一想：几何度量中最基本的距离是什么？基础梳理1．点点距、点线距、点面距、线线距、线面距、面面距2.AM3.点面4.公垂线5.公垂线6．想一想：两点之间的距离是几何度量中最基本的距离，计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离．1．已知AB、BC、CD为两两垂直的三条线段，且它们的长都为2，则AD的长为()A．4B．2C．3D．22．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为()A．10B．3C.D.3．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A．2B．3C．4D．5自测自评1．解析：AD＝AB＋BC＋CD，所以|AD|2＝|AB＋BC＋CD|2＝|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋2AB·BC＋2AB·CD＋2BC·CD＝|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＝12，所以|AD|＝2，故选D.答案：D2．解析：设点P到α的距离为h，则h＝＝.答案：D3．B11．已知向量n＝(2，0，1)为平面α的法向量，点A(－1，2，1)在α内，则P(1，2，－2)到α的距离为()A.B.C．2D.1．解析： PA＝(－2，0，3)，∴点P到平面α的距离为d＝＝＝.答案：A2．单位正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则C1到直线CE的距离为()A.B.C.D.2．解析：建立空间直角坐标系如图则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以EC＝，CC1＝(0，0，1)，所以CC1在EC上的投影为＝＝－，所以点C1到EC的距离为d＝＝＝.故选C.答案：C3．若O为坐标原点，OA＝(1，1，－2)，OB＝(3，2，8)，OC＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A.B．2C.D.3．解析：由题意OP＝(OA＋OB)＝，PC＝OC－OP＝，|PC|＝＝.故选D.答案：D4．与xOy平面的距离为1的点(x，y，z)所满足的条件是________．4．z＝±15．(2014·济宁高二检测)如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCOA′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为()A.aB.aC．aD.a5．解析：由图易知2A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A′(a，0，a)，所以F，E.所以|EF|＝＝＝a.答案：B6．二面角αlβ等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于()A.B.C．2D.6．解析：如图． 二面角αlβ等于120°，∴CA与BD夹角为60°.由题设知，CA⊥AB，AB⊥BD，|AB|＝|AC|＝|BD|＝1，|CD|2＝|CA＋AB＋BD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝3＋2×cos60°＝4，∴|CD|＝2.答案：C7．在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．7．解析：由已知AB，AD，AP两两垂直．3∴以A为坐标原点AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，PB＝(2，0，－2)．BC＝(0，2，0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则令a＝1，则n＝(1，0，1)，又AB＝(2，0，0)，∴d＝＝.答案：8．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．8．解析：以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，)，所以AB＝(－4，3，0)，AP＝(－4，0，)，所以AP在AB上的投影长为＝，所以P到AB的距离为d＝＝＝3.答案：39．三棱柱ABCA1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．(1)求证：平面AB1D⊥...
