【三维设计】2015-2016学年高中数学2.1.1合情推理课时达标检测新人教A版选修1-2一、选择题1.观察下列各式:72=49,73=343,74=2041,…,则72013的末两位数字为()A.01B.43C.07D.49解析:选C因为71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,…,所以这些数的末两位数字呈周期性出现,且周期T=4.又2013=4×503+1,所以72013的末两位数字与71的末两位数字相同,为07.2.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1b2b3…b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为()A.a1a2a3…a9=29B.a1+a2+…+a9=29C.a1a2…a9=2×9D.a1+a2+…+a9=2×9解析:选D等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算,从而有a1+a2+…+a9=2+2+…+2=2×9.3.定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:那么下列4个图形中,可以表示A*D,A*C的分别是()A.(1),(2)B.(1),(3)C.(2),(4)D.(1),(4)解析:选C解析:由①②③④可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,∴A*D是(2),A*C是(4).4.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;1类似地,称图(2)中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289B.1024C.1225D.1378解析:选C记三角形数构成的数列为{an},则a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,可得通项公式为an=1+2+3+…+n=.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn=n2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式,使得n都为正整数的只有1225.5.将正整数排成下表:12345678910111213141516……则在表中数字2013出现在()A.第44行第78列B.第45行第78列C.第44行第77列D.第45行第77列解析:选D第n行有2n-1个数字,前n行的数字个数为1+3+5+…+(2n-1)=n2. 442=1936,452=2025,且1936<2013<2025,∴2013在第45行.又2025-2013=12,且第45行有2×45-1=89个数字,∴2013在第89-12=77列.二、填空题6.设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,…根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=________.解析:由已知可归纳如下:f1(x)=,f2(x)=,f3(x)=,f4(x)=,…,fn(x)=.答案:7.在平面直角坐标系xOy中,二元一次方程Ax+By=0(A,B不同时为0)表示过原点的直线.类似地:在空间直角坐标系Oxyz中,三元一次方程Ax+By+Cz=0(A,B,C不同时为0)表示____________________.解析:由方程的特点可知:平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面,“过原点”类比仍为“过原点”,因此应得到:在空间直角坐标系Oxyz中,三元一次方程Ax+By+Cz=0(A,B,C不同时为0)表示过原点的平面.答案:过原点的平面8.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝,第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图①所示的六边形,第三件首饰由15颗珠宝构成2如图②所示的六边形,第四件首饰由28颗珠宝构成如图③所示的六边形,第五件首饰由45颗珠宝构成如图④所示的六边形,以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝,使其构成更大的六边形,依此推断第六件首饰上应有________颗珠宝,第n件首饰上应有________颗珠宝(结果用n表示).解析:设第n件首饰上所用珠宝数为an颗,据题意可知,a1=1,a2=6,a3=15,a4=28,a5=45,即a2-a1=5,a3-a2=9,a4-a3=13,a5-a4=17,所以a6-a5=21,即a6=66,同理an-an-1=4n-3(n≥2,n∈N*),所以an=1+5+9+…+4n-3=2n2-n.答案:662n2-n三、解答题9.如图所示,在△ABC中,a=b·cosC+c·cosB,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,写出对空间四面体性质的猜想.解:如图所示,在四面体PABC中,S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积,α,β,γ依次表示面PAB,面PBC,面PCA与底面ABC所成二面角的大小.猜想S...