选修1-22.3.2抛物线的几何性质一、选择题1．P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p≠0)上任一点，则P到焦点的距离是()A．|x0－|B．|x0＋|C．|x0－p|D．|x0＋p|[答案]B[解析]利用P到焦点的距离等于到准线的距离，当p>0时，p到准线的距离为d＝x0＋；当p<0时，p到准线的距离为d＝－－x0＝|＋x0|.2．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为()A．x2＝－28yB．y2＝28xC．y2＝－28xD．x2＝28y[答案]B[解析]由题意，知抛物线的标准方程为：y2＝2px(p>0)，又准线方程为x＝－7，∴p＝14.3．抛物线y2＝－4px(p>0)的焦点为F，准线为l，则p表示()A．F到l的距离B．F到y轴的距离C．F点的横坐标D．F到l的距离的[答案]B[解析]设y2＝－2p′x(p′>0)，p′表示焦点到准线的距离，又2p′＝4p，p＝，故p表示焦点到y轴的距离．4．(2010·陕西文，9)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A.B．1C．2D．4[答案]C[解析]本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，由题意知，3＋＝4，p＝2.5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．[－，]B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4][答案]C[解析]由题意可知，y2＝8x的准线为x＝－2，所以Q点的坐标为(－2,0)，设直线l的1方程为y＝k(x＋2)(斜率显然存在)，联立得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，所以k＝0时，直线与抛物线的交点为(0,0)时，k≠0，Δ＝[4(k2－2)]2－4×(4k2)×k2≥0⇒－1≤k≤1，且k≠0，综上可知－1≤k≤1，应选C.6．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是()A．4B．4或－4C．－2D．2或－2[答案]B[解析]由题意，设抛物线的标准方程为：x2＝－2py，由题意得，＋2＝4，∴p＝4，x2＝－8y.又点(k，－2)在抛物线上，∴k2＝16，k＝±4.7．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为()A．y2＝－2xB．y2＝－4xC．y2＝2xD．y2＝－4x或y2＝－36x[答案]B[解析]由题意，设抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)，由题意，得＋5＝6，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x.8．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝()A．2或－2B．－1C．2D．3[答案]C[解析]由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则＝4，即k＝2.9．与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆圆心的轨迹为()A．圆B．抛物线和一条射线C．椭圆D．抛物线[答案]B[解析]如图，设动圆圆心坐标为(x，y)，由题意得2y＝0(x<0)或y2＝20x(x≠0)．10．已知P为抛物线y2＝4x上一动点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值为()A．4B.C.－1D.－1[答案]D[解析]因为A在抛物线的外部，所以，当点P、A、F共线时，|PA|＋|PF|最小，此时|PA|＋d也最小，|PA|＋d＝|PA|＋(|PF|－1)＝|AF|－1＝－1＝－1.二、填空题11．抛物线y2＝2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是________．[答案]1或9[解析]设抛物线上一点M坐标为(x0，y0)由题意，得y0＝6，x0＋＝10，又y＝2px0，解得x0＝1或9.12．抛物线y2＝16x上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________．[答案](2，±4)[解析]设抛物线y2＝16x上的点P(x，y)由题意，得(x＋4)2＝x2＋y2＝x2＋16x，∴x＝2，∴y＝±4.13．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为________．[答案]2[解析]由题意，设A点坐标为(x,2)，则x＝3，又焦点F(1,0)，∴焦点到AB的距离为2.14．已知F为抛物线y2＝2ax(a>0)的焦点，点P是抛物线上任一点，O为坐标原点，以下四个命题：(1)△FOP为正三角形．(2)△FOP为等腰直角三角形．(3)△FOP为直角三角形．(4)△FOP为等腰三角形．其中一定不正确的命题序号是________．[答案](1)(2)[解析] 抛物线上的点到焦点的距离最小时，恰好为抛物线顶点，∴(1)错误．若△FOP为等腰直角三角形，则点P的横纵坐标相等，这显然不可能，故(2)错误．三、解答题15．根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)焦点是F(3,0)．(2)准线方程是x＝－.(3)焦点到准线的距离是2.[解...
