三、平面向量与其它知识的综合：典型例题：例1.对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=【】A．B.1C.D.【答案】C。【考点】新定义，平面向量的数量积，三角函数的值域，集合的概念。【解析】 由定义，∴=，。∴。 ，∴，即。 ，∴。又 ，∴=。∴。∴，=。故选C。例2.对任意两个非零的平面向量，定义．若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中，则【】A．B．C．D．【答案】D。【考点】新定义，平面向量的数量积，三角函数的值域，集合的概念。【解析】 由定义，∴=，。∴。 ，∴，即。 ，∴。∴。∴=。故选D。例3.在△ABC中，AB=2，AC=3，=1则【】A.B.C.D.【答案】A。【考点】平面向量的数量积运算，余弦定理。【解析】如图知。∴。又由余弦定理得，即，解得。故选A。例4.在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是▲.【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系。 平行四边形中，，，∴。设，则。∴由得，。∴的横坐标为，的纵坐标为。∴∴。 函数在有最大值，∴在时，函数单调增加。∴在时有最小值2；在时有最大值5。∴的取值范围是。版权归锦元数学工作室，不得转载】例5.在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是▲【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过所在直线为轴建立平面直角坐标系。 在矩形中，，∴。设，则。∴由得，。∴的坐标为。∴。∴。 ，∴。∴的取值范围是。例6.若平面向量满足：；则的最小值是▲来【答案】。【考点】平面向量，基本不等式的应用。【解析】 ，∴。又 ，∴。∴。∴的最小值是。例7.已知向量m=（sinx，1），函数的最大值为6。（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象。求g（x）在上的值域。【答案】解：（Ⅰ）。 函数的最大值为6。而∴。（Ⅱ）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数。当时，，.。∴函数g（x）在上的值域为。【考点】向量的运算，三角函数的值域，函数图象平移的性质。【解析】（Ⅰ）求出函数关于的表达式，化简后根据三角函数的值域确定A。（Ⅱ）由平移的性质，求出g（x），由得出的范围，从而求得函数g（x）在上的值域。例8.已知向量，设函数的图像关于直线=π对称，其中为常数，且（Ⅰ）求函数的最小正周期；（2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。【答案】解：。（Ⅰ） 函数的图像关于直线=π对称，∴。∴。又 ，∴。∴的最小正周期为。（II）若的图像经过点，则有，∴。∴。 ，∴。∴。∴函数在区间上的取值范围为。【考点】数量积的坐标表达式，三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。【解析】（Ⅰ）先利用向量数量积运算性质，求函数的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数化为，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期。（II）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数的值域。例9.在中，已知．（1）求证：；（2）若求A的值．【答案】解：（1） ，∴，即。由正弦定理，得，∴。又 ，∴。∴即。（2） ，∴。∴。∴，即。∴。由（1），得，解得。 ，∴。∴。【考点】平面向。量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。（2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。例10.对于数集，其中，，定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如具有性质P.（1）若＞2，且，求的值；（4分）（2）若X具有性质P，求证：1X，且当n＞1时，1=1；（6分）（3）若X具...
