课时作业22导数的概念知识点一求瞬时速度1.y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率是()A.2B.3C.4D.5答案B解析Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则＝＝3，∴当Δx趋近于0时，趋近于3.故选B.2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()A.6B.18C.54D.81答案B解析∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴＝18＋3Δt.∴lim＝lim(18＋3Δt)＝18，故应选B.知识点二导数的定义3.函数f(x)在x0处可导，则lim()A.与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C.仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案B解析由导数的概念可知，lim＝f′(x0)，仅与x0有关，与h无关，故选B.4．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足lim＝－1，则f′(0)＝()A.－2B.－1C.1D.2答案B解析∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝lim＝lim＝－1，∴选B.知识点三导数的实际意义5.一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．解根据导数的定义，得＝＝＝3，所以，f′(2)＝lim＝3.f′(2)的意义是：水流在2s时的瞬时流量为3m3/s，即如果保持这一速度，每经过1s，水管中流过的水量为3m3.易错点导数的概念理解不明6.已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则lim＝________.易错分析本题易忽视分子中x的增量为(x0＋2Δx)－x0＝2Δx，而分母中x的增量为Δx，两者增量不一致，所以误认为题解为f′(x0)而出错．答案8解析lim＝lim1＝2lim＝2f′(x0)＝2×4＝8.2一、选择题1．在f′(x0)＝lim中，Δx不可能()A.大于0B.小于0C.等于0D.大于0或小于0答案C解析由导数定义知Δx只是无限趋近于0，故选C.2．设函数在x＝1处存在导数，则lim＝()A.f′(1)B.3f′(1)C.f′(1)D.f′(3)答案C解析lim＝lim＝f′(1)．3．函数y＝3x2在x＝1处的导数为()A.12B.6C.3D.2答案B解析f′(1)＝lim＝lim＝6.4．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2秒时，此木块在水平方向的瞬时速度为()A.B.C.1D.2答案B解析s′|t＝2＝lim＝lim＝，故选B.二、填空题5．已知函数f(x)＝，则f′(2)＝________.答案－解析lim＝lim＝lim＝－.6．已知f(x)＝，则lim＝________.答案－解析令x－a＝Δx，则x＝a＋Δx，lim＝lim＝lim＝lim＝－.7．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则f(m)＝________.答案±解析∵f(x)＝，∴f′(m)＝lim＝lim＝lim＝－.又f′(m)＝－，∴－＝－.∴m＝±4.∴f(m)＝＝±.三、解答题8．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．解∵f′(x0)＝lim＝lim＝lim3＝lim(－8＋2x0＋Δx)＝－8＋2x0，∴－8＋2x0＝4.∴x0＝3.9．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解位移公式为s＝at2，∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，∴＝at0＋aΔt，∴lim＝lim＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.4
