题组层级快练(六十二)1．(2019·广东中山第一次统测)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝()A．6B．8C．9D．10答案B解析|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝8.故选B.2．若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是()A．(，1)B．(0，0)C．(1，2)D．(1，4)答案A解析设与直线y＝4x－5平行的直线为y＝4x＋m，由平面几何的性质可知，抛物线y＝4x2上到直线y＝4x－5的距离最短的点即为直线y＝4x＋m与抛物线相切的点．而对y＝4x2求导得y′＝8x，又直线y＝4x＋m的斜率为4，所以8x＝4，得x＝，此时y＝4×()2＝1，即切点为(，1)，故选A.3．(2019·广东汕头第三次质检)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，与直线y＝2x－4交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.B.C．－D．－答案D解析 抛物线C：y2＝4x的焦点为F，∴点F的坐标为(1，0)．又 直线y＝2x－4与C交于A，B两点，∴A，B两点坐标分别为(1，－2)，(4，4)，则FA＝(0，－2)，FB＝(3，4)，∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D.4．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则直线l过定点()A．(－3，0)B．(0，－3)C．(3，0)D．(0，3)答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.又y12＝2x1，y22＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，所以b＝－3，即直线l：x＝my－3，所以直线l过定点(－3，0)．5．(2019·安徽芜湖模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A．－4B．4C．p2D．－p2答案A解析①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，则x1x2＝；②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设直线AB：y＝k(x－)，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝. y12＝2px1，y22＝2px2，∴y12y22＝4p2x1x2＝p4.又 y1y2<0，∴y1y2＝－p2.故＝－4.6．(2019·山西孝义模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点．若|AF|＝5，则△AOB的面积为()A．5B.C.D.答案B解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)．设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y＝k(x－1)，由消去x，得y2－y－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得y1y2＝－4.根据抛物线的定义，得|AF|＝x1＋＝x1＋1＝5，解得x1＝4，代入抛物线方程得y12＝4×4＝16，解得y1＝±4.当y1＝4时，由y1y2＝－4得y2＝－1；当y1＝－4时，由y1y2＝－4得y2＝1，所以|y1－y2|＝5，即A，B两点纵坐标差的绝对值等于5.因此△AOB的面积为S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|y1|＋|OF||y2|＝|OF||y1－y2|＝×1×5＝.7．(2019·甘肃兰州期中)设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则OA·OB等于()A.B．－C．3D．－3答案B解析抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，当AB的斜率不存在时，可得A(，1)，B(，－1)，∴OA·OB＝(，1)·(，－1)＝－1＝－，故选B.8．(2019·衡水中学调研)已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两不同点，则y12＋y22的最小值为()A．12B．24C．16D．32答案D解析当直线的斜率不存在时，方程为x＝4，由得y1＝－4，y2＝4，∴y12＋y22＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，∴y12＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32>32.综上可知，y12＋y22≥32.∴y12＋y22的最小值为32.故选D.9．(2019·天津静海模拟)已知点A为抛物线C：x2＝4y上的动点(不含原点)，过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则∠ABF为()A．锐角B．直角C．钝角D．不确定答案B解析设A(x0，)(x0≠0)．又y＝x2，则y′＝x，则抛物线C在点A处的切线方程为y－＝x0(x－x0)．令y＝0，解得B(x0，0)．又F(0，1)，所以BF·BA＝(－x0，1)·(x0，)＝－＋＝0，则∠ABF为直角，故选B.10．(2019·东城区期末)已知抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.B.C.D.答案D解析由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为(0，)，双曲线...
