知能专练（十二）数学归纳法一、选择题1．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是()A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2解析：选Af(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，故选A.2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2)(n∈N*)时，第一步需要证明()A．1＜2－B．1＋＜2－C．1＋＋＜2－D．1＋＋＋＜2－解析：选C第一步验证n＝2时是否成立，即证明1＋＋＜2－.3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得()A．当n＝4时命题不成立B．当n＝6时命题不成立C．当n＝4时命题成立D．当n＝6时命题成立解析：选A因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．4．证明1＋＋＋＋…＋＞(n∈N*)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是()A．1项B．k－1项C．k项D．2k项解析：选D当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋项，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．5．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.解析：选B当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．6．(2017·杭州模拟)对于不等式
n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取________．解析：当n＝1时，2＝2，不成立．当n＝2时，4<5，不成立．当n＝3时，8<10，不成立．当n＝4时，16<17，不成立．当n＝5时，32>26，成立．当n＝6时，64>37，成立．由此知n0应取5.答案：5三、解答题10．(2017·安庆模拟)已知数列{an}满足a1＝a>2，an＝(n≥2，n∈N*)．(1)求证：对任意n∈N*，an>2；(2)判断数列{an}的单调性，并说明你的理由．解：(1)证明：用数学归纳法证明an>2(n∈N*)．①当n＝1时，a1＝a>2，结论成立；②假设n＝k(k≥1)时结论成立，即ak>2，则n＝k＋1时，ak＋1＝>＝2，所以n＝k＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n∈N*，都有an>2成立．(2){an}是单调递减的数列．因为a－a＝an＋2－a＝－(an－2)(an＋1)，又an>2，所以a－a<0，所以an＋1
