课后提升作业九椭圆及其标准方程(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段【解析】选D.因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|,所以动点M的轨迹是线段.2.设椭圆的标准方程为+=1,若其焦点在x轴上,则k的取值范围是()A.k>3B.35-k>0,所以40)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9【解析】选B.因为椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),所以c=4=,所以m2=9,所以m=3.4.若椭圆+=1的焦距为6,则m的值为()A.7B.7或25C.25D.或5【解析】选B.①设a2=16,b2=m,所以c2=16-m,所以16-m=9,所以m=7;②设a2=m,b2=16,则c2=m-16,所以m-16=9,所以m=25.【误区警示】忽视焦点位置,导致丟解椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2项分母的大小,如果x2项的分母大于y2项的分母,则椭圆的焦点在x轴上;反之,焦点在y轴上.由于本题中x2和y2项分母的大小不确定,因此需要进行分类讨论.5.(2016·成都高二检测)如果椭圆的两个焦点为F1(-1,0)和F2(1,0),P是椭圆上的一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,那么椭圆的方程是()1A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选C.因为|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,即a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,因为焦点在x轴上,故选C.6.已知椭圆+=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【解题指南】利用条件和椭圆的定义解出|MF1|,|MF2|的长度,再判断.【解析】选B.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=4,且已知|MF1|-|MF2|=1,所以|MF1|=,|MF2|=.又|F1F2|=2c=2.所以有|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2.因此∠MF2F1=90°,即△MF1F2为直角三角形.7.(2016·合肥高二检测)设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于()A.5B.4C.3D.1【解析】选B.由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,所以|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,所以|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(2)2,可知,△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4.【补偿训练】椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=________;∠F1PF2的大小为________.【解析】由椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF2|=2,cos∠F1PF2===-.所以∠F1PF2=120°.答案:2120°28.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为()A.B.C.D.【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,可设=m,=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,所以mn=2b2,即mn=2,所以=mn=1.设点M到x轴的距离为h,则:×|F1F2|×h=1,又|F1F2|=2,所以h=.【延伸探究】将本题中的椭圆方程改为+=1,其他条件不变,如何解答?【解析】设M到F1,F2的距离分别为r1,r2,则r1+r2=10.又+=(2c)2=64,所以(r1+r2)2-2r1r2=64即r1r2=18.令M到x轴的距离为h,所以r1r2=×2c×h,解得h=.【拓展延伸】揭秘焦点三角形椭圆中的焦点三角形问题由于涉及知识面广,探究性强,综合性高,成为椭圆和解三角形、三角函数以及不等式等知识交汇的命题点,是命题的“焦点”.在解决与椭圆有关的焦点三角形问题中,常用到以下结论:设F1,F2为椭圆焦点,M为椭圆上的点.(1)|MF1|+|MF2|=2a.(2)|MF1|·|MF2|≤=a2.(3)|MF1|·|MF2|=2a2-.(4)=b2tan(其中∠F1MF2=θ).二、填空题(每小题5分,共10分)39.(2016·昆明高二检测)已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为________.【解析】由已知,2a=8,2c=2,所以a=4,c=,所以b2=a2-c2=16-15=1,所以椭圆的标准方程为+x2=1.答案:+x2=110.(2016·衡水高二检测)已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是________.【解析】依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数且a>0).又|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a.由题意知,a=2,b=,c===1.所以|QF1|=4,F1(-1,0),所以动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,所以动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.答案:(x+1)2+y2=16三、解答题11.(...
