（新课标）高考数学一轮总复习 考点集训（十四）第14讲 导数的概念及运算 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

考点集训(十四)第14讲导数的概念及运算对应学生用书p216A组题1．有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()A.B.C.D.[解析]由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－＝.[答案]D2．已知函数f(x)＝sinx－x，则f′(0)＝()A．0B．－1C．1D．－2[解析]由函数的解析式可得：f′(x)＝cosx－1，则f′(0)＝cos0－1＝1－1＝0.[答案]A3．(多选)下列求导正确的有()A．(sinx)′＝－cosxB.′＝－C．(e2x)′＝2e2xD.′＝[解析](sinx)′＝cosx，故A错误；′＝－，故B正确；(e2x)′＝2e2x，故C正确；′＝＝，故D错误．[答案]BC4．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2[解析]因为y＝1－＝，所以y′＝＝，y′|x＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.[答案]A5．函数f(x)＝lnx＋x2－bx＋a(b>0，a∈R)的图象在点(b，f(b))处的切线斜率的最小值是()A．2B.C．1D．2[解析] f′(x)＝＋2x－b，∴k＝f′(b)＝＋b≥2＝2，当且仅当b＝1时取等号，因此切线斜率的最小值是2.[答案]D6．过点(e，－e)作曲线y＝ex－x的切线，则切线方程为()A．y＝(－1－e)x＋e2B．y＝(e－1)x－e2C．y＝(ee＋1－1)x－ee＋2D．y＝(ee－1)x－ee＋1[解析]由y＝ex－x，得y′＝ex－1，设切点为(x0，ex0－x0)，则y′|x＝x0＝ex0－1，∴切线方程为y－ex0＋x0＝(ex0－1)(x－x0)， 切线过点(e，－e)，∴－ex0＝ex0(e－x0)，解得：x0＝e＋1.∴切线方程为y－ee＋1＋e＋1＝(ee＋1－1)(x－e－1)，整理得：y＝(ee＋1－1)x－ee＋2.[答案]C7．已知直线l：x－ty－2＝0(t≠0)与函数f(x)＝(x>0)的图象相切，则切点的横坐标为()A．2±B．2±2C．2D．1＋[解析]由f(x)＝(x>0)可得f′(x)＝，设切点坐标为(m，n)(m>0)，则解得m＝2±.[答案]A8．已知函数f(x)＝axlnx＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝__________．[解析]由题意，得f′(x)＝alnx＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.[答案]4B组题1．设在函数f(x)＝－ex－x图象上任意一点处的切线为l1，若总存在函数g(x)＝ax＋2cosx图象上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是()A．[－1，2]B．(－1，2)C．[－2，1]D．(－2，1)[解析]f(x)＝－ex－x，则f′(x)＝－ex－1， ex＋1>1，∴－ex－1<－1，由g(x)＝ax＋2cosx，可得g′(x)＝a－2sinx，又－2sinx∈[－2，2]，∴a－2sinx∈[－2＋a，2＋a]，要使得过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝ax＋2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则解得－1≤a≤2.即实数a的取值范围是[－1，2]．[答案]A2．已知函数f(x)，x∈(0，＋∞)的导函数为f′，且满足xf′－2f＝x3ex，f(1)＝e－1，则f(x)在处的切线方程为____________．[解析] xf′－2f＝x3ex，∴＝ex.令g＝，则g′＝＝ex，∴g＝＝ex＋c(c为常数)，∴f＝x2，又f＝e＋c＝e－1，∴c＝－1.∴f＝x2，∴f′＝2x＋x2ex＝ex－2x，∴f′＝8e2－4.又f＝4，∴所求切线方程为y－4＝，即y＝x－12e2＋4.[答案]y＝x－12e2＋43．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝2lnx＋ax3，a∈R.(1)求g(x)的单调区间；(2)当a＝－1时，证明：∃x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．[解析](1)g′(x)＝3ax2＋，x∈(0，＋∞),当a≥0时，g′(x)>0，故g(x)的单调增区间为(0，＋∞).当a<0时，令g′(x)≥0得0，g(x)的单调减区间为.(2)当a＝－1时，f′(x)＝ex，g′(x)＝－3x2＋，∃x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．即∃x0∈(0，1)使得f′(x0)＝g′(x0)，且f(x0)≠g(x0),令h(x)＝f′(x)－g′(x)＝ex－＋3x2,h＝e＋－6<0，h(1)＝e＋1>0，所以∃x0∈(0，1)使得f′(x0)＝g′(x0)．因为当x∈时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0，所以g(x)在区间(0，1)的最大值为g＝2ln－<0.而f(x)>0恒...