（新课标）高考数学二轮复习 专题一 三角函数与解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第2讲三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2019·重庆市学业质量调研)已知sinθ＝cos(2π－θ)，则tan2θ＝()A．－B.C．－D.解析：选B.由sinθ＝cos(2π－θ)，得sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，则tan2θ＝＝＝，故选B.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．4B.C.D．2解析：选A.因为cos＝，所以cosC＝2cos2－1＝2×－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.故选A.3．(2019·成都市第二次诊断性检测)若α，β都是锐角，且sinα＝，sin(α－β)＝，则sinβ＝()A.B.C.D.解析：选B.因为sinα＝，α为锐角，所以cosα＝.因为α，β均为锐角，所以0＜α＜，0＜β＜，所以－＜－β＜0，所以－＜α－β＜，又因为sin(α－β)＝＞0，所以0＜α－β＜，所以cos(α－β)＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝＝.4．已知θ∈，且sinθ－cosθ＝－，则＝()A.B.C.D.解析：选D.由sinθ－cosθ＝－，得sin＝.因为θ∈，所以0＜－θ＜，所以cos＝.故＝＝＝＝2cos＝.5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2a，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析：选C.因为＋＝2a，所以由正弦定理可得，＋＝2sinA≥2＝2，所以sinA＝1，当＝时，“＝”成立，所以A＝，b＝c，所以△ABC是等腰直角三角形．6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝2c2，sinA(1－cosC)＝sinBsinC，b＝6，AB边上的点M满足AM＝2MB，过点M的直线与射线CA，CB分别交于P，Q两点，则MP2＋MQ2的最小值是()A．36B．37C．38D．39解析：选A.由正弦定理，知＋＝2c2，即2＝2sin2C，所以sinC＝1，C＝，所以sinA(1－cosC)＝sinBsinC，即sinA＝sinB，所以A＝B＝.以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2，4)，设∠MPC＝θ，θ∈，则MP2＋MQ2＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝20＋4tan2θ＋≥36，当且仅当tanθ＝时等号成立，即MP2＋MQ2的最小值为36.二、填空题7．若sin＝，则cos＝________．解析：cos＝cos＝2sin2－1＝2×－1＝－.答案：－8．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．解析：法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsinB＝×4×2×sin＝6.法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.答案：69.已知在河岸A处看到河对岸两个帐篷C，D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30米到达B处后再次观察帐篷C，D，此时C，D分别在北偏西15°和北偏西60°方向，则帐篷C，D之间的距离为________米．解析：由题意可得∠DAB＝60°，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∠DBA＝30°，在△ABD中，∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，AB＝30，所以∠ADB＝90°，sin∠DAB＝sin60°＝，解得BD＝15.在△ABC中，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，所以∠ACB＝60°，＝，解得BC＝10.在△BCD中，∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝45°，则由余弦定理得cos∠CBD＝cos45°＝，即＝，得CD＝5.答案：5三、解答题10．(2019·合肥市第二次质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知bsin－csinB＝0.(1)求角C的值；(2)若a＝4，c＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为bsin－csinB＝0，所以sinB－sinCsinB＝0，因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinC＋cosC＝0，所以sin＝0.因为C∈(0，π)，所以C＝.(2)因为c2＝a2＋b2－2abcosC，a＝4，c＝2，所以b2＋4b－12＝0，因为b＞0，所以b＝2，所以△ABC的面积S＝absinC＝×4×2×＝2.11．(2019·郑州市第一次质量预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且满足sinB＝.(1)求sinAsinC；(2)若4cosAcosC＝3，b＝，求△ABC的周长．解：(1)由三角形的面积公式可得S＝bcsinA，又sinB＝，所以2bcsinAsinB＝...