课时作业58双曲线一、选择题1.已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析:因为双曲线的焦距为10,所以c=5.又因为P(2,1)在渐近线上,且渐近线方程为y=x,所以1=,即a=2b.又因为c2=a2+b2=5b2=25,所以b2=5,a2=20.即双曲线方程为-=1.答案:A2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=()A.2B.C.D.1解析:由题知=2,解得a=1.答案:D3.(2014·天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析:渐近线平行于l,则=2,又焦点为(-5,0),则c=5,可得c2=a2+b2=5a2=25,得a2=5,b2=4a2=20,选A.答案:A4.已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长),则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析:不妨取双曲线的右焦点(c,0),双曲线的渐近线为y=±x,即bx±ay=0.则焦点到渐近线的距离为=c,即b=c,从而b2=c2=c2-a2,所以c2=a2,即e2=,所以离心率e=.答案:A5.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.3C.mD.3m解析:由题意,可得双曲线C为-=1,则双曲线的半焦距c=.不妨取右焦点(,0),其渐近线方程为y=±x,即x±y=0.所以由点到直线的距离公式得d==.故选A.答案:A6.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,)B.(1,]C.(,+∞)D.[,+∞)解析: 双曲线的一条渐近线方程为y=x,则由题意得>2.∴e==>=.答案:C二、填空题7.(2014·北京卷)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为________;渐近线方程为________.解析:双曲线-x2=1的渐近线为y=±2x,故C的渐近线为y=±2x,设C:-x2=m,并将点(2,2)代入C的方程,解得m=-3,故C的方程为-x2=-3,即-=1.答案:-=1y=±2x8.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.解析:不妨设点P在双曲线的右支上且F1,F2分别为左、右焦点,因为PF1⊥PF2,所以(2)2=|PF1|2+|PF2|2,又因为|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|·|PF2|=4,则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2.答案:29.(2014·浙江卷)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.解析:由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为y=x和y=-x,分别与x-3y+m=0联立,解得A,B,由|PA|=|PB|得,AB中点Q的坐标为Q,由PQ与已知直线垂直,解得2a2=8b2=8(c2-a2),即=,故e==.答案:三、解答题10.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且BF与FA同向.(1)求双曲线的离心率.(2)设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.解:(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=m,tan∠AOF=,tan∠AOB=tan2∠AOF==,由倍角公式,得=,解得=,则离心率e=.(2)不妨设过F与l1垂直的直线方程为y=-(x-c),与双曲线方程-=1联立,将a=2b,c=b代入,化简有x2-x+21=0,4=|x1-x2|=,将数值代入,有4=,解得b=3,故所求的双曲线方程为-=1.11.设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M、N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.解:(1)由题意知a=2,∴一条渐近线为y=x.即bx-2y=0.∴=.∴b2=3,∴双曲线的方程为-=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入...