第8章平面解析几何第9节圆锥曲线的综合问题1．（2014浙江，15分）如图，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.由于l与C只有一个公共点，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得点P的坐标为.又点P在第一象限，故点P的坐标为P，.(2)由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离d＝，整理得d＝，因为a2k2＋≥2ab，所以≤＝a－b，当且仅当k2＝时等号成立．所以点P到直线l1的距离的最大值为a－b.2．（2014北京，14分）已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±，故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)．即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.d＝.又x＋2y＝4，t＝－，故d＝＝＝.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．3．（2014湖南，13分）如图，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.(1)求C1，C2的的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．解：(1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)．于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2，故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1,0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1.由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.易知Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取得最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.4．（2014四川，13分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；②当最小时，求点T的坐标．解：(1)由已知可得解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)①由(1)可得，F的坐标是(－2,0)，设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.所以PQ的中点M的坐标为，所以直线OM的斜率kOM＝－.又直线OT的斜率kOT＝－，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.②由①可得，|TF|＝，|PQ|＝＝＝＝.所以＝＝≥＝.当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．所以当最小时，T点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．5．（20...
