课时限时检测(五)函数的单调性与最值(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增【答案】B2．下列函数中，满足x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)的是()A．f(x)＝B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)【答案】A3．若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是()A．f＞f(a2－a＋1)B．f≥f(a2－a＋1)C．f＜f(a2－a＋1)D．f≤f(a2－a＋1)【答案】B4．已知f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】C5．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)最大值为()A．4B．5C．6D．7【答案】C6．已知函数f(x)＝若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是()A．a＜2B．a＞2C．－2＜a＜2D．a＞2或a＜－2【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.【答案】－68．设函数f(x)＝的最小值为2，则实数a的取值范围是________．【答案】[3，＋∞)9．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)【答案】②③④三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A＝{x|f(x)＝x}．(1)若A＝{1,2}，且f(0)＝2，求M和m的值；(2)若A＝{1}，且a≥1，记g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值．【解】(1)由f(0)＝2可知c＝2，又A＝{1,2}，故1,2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的两实根．∴解得a＝1，b＝－2，∴f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－2,2]．当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝1，即m＝1，当x＝－2时，f(x)max＝f(－2)＝10，即M＝10.(2)由题意知，方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两相等实根x＝1，∴即∴f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a，x∈[－2,2]，其对称轴方程为x＝＝1－.又a≥1，故1－∈，∴M＝f(－2)＝9a－2，m＝f＝1－，g(a)＝M＋m＝9a－－1.又g(a)在区间[1，＋∞)上为单调递增的，∴当a＝1时，g(a)min＝.11．(12分)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明．(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．【解】(1)∵当x＞0，y＞0时，f＝f(x)－f(y)，∴令x＝y＞0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f.∵x2＞x1＞0，∴＞1，∴f＞0.∴f(x2)＞f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数．∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)，∵f(4)＝2，由f＝f(x)－f(y)，知f＝f(16)－f(4)，∴f(16)＝2f(4)＝4，∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．12．(13分)已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．【解】(1)证明任设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵a＞0，x2－x1＞0，∴要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，∴a≤1.综上所知a的取值范围为{a|0＜a≤1}．
