课时作业17双曲线的简单性质时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．双曲线3x2－y2＝9的实轴长是(A)A．2B．2C．4D．4解析：将方程3x2－y2＝9变形为－＝1，则a2＝3，解得a＝，即2a＝2.故选A.2．已知双曲线－y2＝1(a>0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为(D)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：由题意得实轴长为2a，虚轴长为2，焦距长为2.因为实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，所以4＝2a＋2，解得a＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.3．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为(A)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：由已知e＝2，c＝4，得a＝2，得b2＝12，故双曲线的方程为－＝1.4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(B)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析： e＝，c＝3，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝5，即双曲线C的标准方程为－＝1.5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(C)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析： e＝＝，∴＝，∴b2＝a2－a2＝，∴＝，即渐近线方程为y＝±x.6．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(C)A．4B．3C．2D．1解析：本小题考查内容为双曲线的渐近线．双曲线的渐近线方程为y＝±x，比较y＝±x，∴a＝2.7．若双曲线－＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是(A)A．2B．1C.D.解析：由题意知双曲线－＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为＝b. 双曲线－＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴b＝·2c，即b＝c＝，解得b＝1.∴该双曲线的虚轴长是2.故选A.8．已知A，B分别为双曲线E的左、右顶点，点M在双曲线E上，△ABM为等腰三角形，且1顶角为120°，则双曲线E的离心率为(D)A.B．2C.D.解析：设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，示意图如下图，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°.过点M作MN⊥x轴，垂足为点N.在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线E的方程得a2＝b2＝c2－a2，即c2＝2a2，所以e＝.故选D.二、填空题9．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为y＝±x.解析：由a2＝16，b2＝9，∴渐近线方程y＝±x＝±x.10．双曲线－＝1的离心率为，则m等于9.解析：＝＝，∴m＝9.11．设F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为.解析：设|AF2|＝x，则|AF1|＝3x.则2a＝|AF1|－|AF2|＝2x,2c＝＝x，故离心率e＝＝＝.三、解答题12．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；(2)与双曲线－＝1有公共顶点，且过点A(6，)；(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.解：(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，即λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2) 所求双曲线与双曲线－＝1有公共顶点，故可设所求双曲线的方程为－＝1(m>0)．将点A(6，)的坐标代入方程－＝1，解得m＝4.∴所求双曲线的方程为－＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.(4)方法1：由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)和(5,0)，即c＝5且焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． e＝＝，∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝9.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.方法2： 椭圆的焦点在x轴上，∴可设双曲线的标准方程为－＝1(24<λ<49)．又e＝，∴＝－1，解得λ＝33.2∴所求双曲线的标准方程为－＝1.13．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求MF1·MF2.解：(1) 双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．把点(4，－)代入双曲线...
