专题对点练22直线与圆及圆锥曲线1.设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.2.(2018全国Ⅱ,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.(1)求圆心P的轨迹E的方程;(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k>0),△AMN的面积为S,求Sk的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-❑√3y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2❑√3,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求⃗PA·⃗PB的取值范围.5.已知点N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点M是以N为圆心,4为半径的圆上任意一点,线段MF的垂直平分线交MN于点R.(1)点R的轨迹为曲线E,求曲线E的方程;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与曲线E交于P,Q两点,请问:是否存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.6.(2018天津,文19)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为❑√53,|AB|=❑√13.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.专题对点练22答案1.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y'=x2.设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2❑√m+1.从而|AB|=❑√2|x1-x2|=4❑√2(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即4❑√2(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由{y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2;由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则{y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得{x0=3,y0=2或{x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.3.解(1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4,所以P的轨迹为椭圆,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=❑√3,所以椭圆的方程为x24+y23=1(x≠-2).(2)设点M坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入x24+y23=1,可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0. A(-2,0)在椭圆x24+y23=1上,∴x0×(-2)=16k2-123+4k2,则x0=6-8k23+4k2,∴|AM|=❑√1+k2·(6-8k23+4k2+2)=❑√1+k2·123+4k2.同理|AN|=❑√1+1k2·12k23k2+4.所以S=12|AM|·|AN|=12·❑√1+k2·123+4k2·❑√1+1k2·12k23k2+4.Sk=72(k2+1)(3k2+4)(4k2+3),令k2+1=t>1,Sk=72(k2+1)(3k2+4)(4k2+3)=72t(4t-1)(3t+1)=7212t+1-1t,所以Sk∈(0,6).4.解(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-❑√3y=4的距离,即r=4❑√1+3=2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=|m|❑√5,所以m25+(❑√3)2=22,即m=±❑√5.所以直线MN的方程为2x-y+❑√5=0或2x-y-❑√5=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得❑√(x+2)2+y2·❑√(x-2)2+y2=x2+y2,即x2-y2=2.因为⃗PA·⃗PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).由于点P在圆O内,故{x2+y2<4,x2-y2=2.由此得y2<1.所以⃗PA·⃗PB的取值范围为[-2,0).5.解(1)由题意,|RM|=|RF|,∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4>|NF|,∴R的轨迹是以N,F为焦点的椭圆,a=2,c=1,b=❑√3,∴曲线E的方程为x24+y23=1;(2)抛物线C的...
