圆锥曲线（14）圆锥曲线中的取值范围问题例1、已知直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点A、B，且，求的取值范围．解：（1）当直线斜率不存在时：（2）当直线斜率存在时：设与椭圆C交点为得（*）∵，∴，∴.消去，得，整理得时，上式不成立；时，，∴，∴或把代入（*）得或∴或综上m的取值范围为或。例2、已知点，，若动点满足．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设过点的直线交轨迹于，两点，若，求直线的斜率的取值范围.解：（Ⅰ）设动点，则，，.由已知得，化简得，得.所以点的轨迹是椭圆，的方程为.（Ⅱ）由题意知，直线的斜率必存在，不妨设过的直线的方程为，设，两点的坐标分别为，.由消去得.因为在椭圆内，所以.所以因为，所以.解得.例3、已知点为椭圆：上的一动点，点的坐标为，求的取值范围．解：，设Q（x，y），，．∵，即，而，∴－18≤6xy≤18．则的取值范围是[0，36]．的取值范围是[－6，6]．∴的取值范围是[－12，0]．二、针对性练习1.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线与椭圆相交于不同的两点.当时，求的取值范围.解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点由题设，解得，故所求椭圆的方程为（2）设、、，为弦的中点，由得直线与椭圆相交，①，从而，，又则：，即，②把②代入①得，解，由②得，解得.综上求得的取值范围是.2.如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.（I）求曲线的方程；（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围.解：（Ⅰ）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2.∴曲线E的方程为（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设，又当直线GH斜率不存在，方程为3.已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为、，一个顶点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）对于轴上的点，椭圆上存在点，使得，求的取值范围.解：（1）由题意可得，，，∴．∴所求的椭圆的标准方程为：．（2）设，则．①且，，由可得，即∴．②由①、②消去整理得．∵∴．∵，∴．∴的取值范围为.4.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当＜时，求实数取值范围．解：（Ⅰ）由题意知，所以．即．又因为，所以，．故椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.设：，，，，由得.，.，.∵，∴，，.∵点在椭圆上，∴，∴.∵＜，∴，∴∴，∴，∴.∴，∵，∴，∴或，∴实数取值范围为.
