1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数知识梳理1.函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率为___________.2.设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t),当Δt趋近于0时,函数f(t)在t0+Δt之间的平均变化率趋近于常数.我们把这个常数称为t0时刻的____________.3.函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在(x0,f(x0))处切线的斜率,即k=f′(x0)=_____________.知识导学要学好本节内容,最重要的是理解平均变化率和瞬时变化率的概念.本节的重点是导数的定义及其几何意义,难点是利用割线逼近的方法求曲线在某点处的导数,及两种变化率之间的关系.疑难突破1.正确理解平均变化率和瞬时变化率的关系.剖析:平均变化率和瞬时变化率都是反映事物变化程度的量,平均变化率表示的是曲线在某区间上的变化趋势;瞬时变化率表示的是曲线上某一点处的变化趋势.2.怎样理解导数的定义及几何意义?剖析:导数是函数在某一点处的瞬时变化率，导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.导数的概念就是变量变化速度在数学上的一种抽象,深刻理解导数的定义是本节的关键.典题精讲【例1】已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率.思路分析：为求得过点(3,9)处的切线斜率,我们从经过点(3,9)的任意一条直线(割线)入手.解：设P(3,9),Q(3+Δx,(3+Δx)2),则割线PQ的斜率为kPQ==6+Δx.当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数6,从而曲线y=f(x)在点P(3,9)处的切线斜率为6.绿色通道：利用割线逼近切线的方法,求曲线在某一点处的切线斜率的方法是一种比较直观的解题方法.变式训练：已知f(x)=2x2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率.思路分析:为求得过点(1,2)处的切线斜率,我们从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手.解:设P(1,2),Q(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线PQ的斜率为kPQ==4+2Δx.当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(1,2)处的切线斜率为4.【例2】已知f(x)=x2+3.(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a处的导数.思路分析：函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率,深刻理解概念是正确解题的关键.1解:(1)因为=2+Δx，当Δx无限趋近于0时,2+Δx无限趋近于2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为=2a+Δx，且当Δx无限趋近于0时,2a+Δx无限趋近于2a,所以f(x)在x=a处的导数等于2a.绿色通道：本题主要考查对导数概念的理解程度,及应用定义解题的熟炼程度.变式训练：已知f(x)=3x+5,求当x=2时的导数.思路分析：函数在某一点处的导数的几何意义就是函数图象在该点切线的斜率.解:因为.所以f(x)在x=2时的导数为3.【例3】已知曲线y=3x2-x,求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.思路分析：求曲线上某点的切线斜率就是求函数在那一点的导数值.解:因为,当Δx趋近于0时,5+3Δx就趋近于5,所以曲线y=3x2-x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.绿色通道：根据导数的定义将切线的斜率求出,再根据点斜式方程求出切线方程,这是用导数求某点处切线的一般方法.变式训练：已知曲线y=上一点P(2,),求点P的切线斜率及点P处的切线方程.思路分析：先求出某点处的切线斜率,即求该函数在某点处的导数，然后利用导数定义求解.解:因为=4+2Δx+，当Δx趋近于0时,4+2Δx+就趋近于4，所以曲线y=上点P(2,)处的切线斜率为4，切线方程为，即问题探究问题：某钢管厂生产钢管的利润函数为P(n)=-n3+600n2+67500n-1200000,其中n为工厂每月生产该钢管的根数,利润P(n)的单位是元.(1)求边际利润函数P′(n)=0时n的值;(2)解释(1)中n的实际意义.导思：这是一道有关边际函数的实际应用题,由于利润函数已给出，只需先求边际利润函数P′(n),再根据P′(n)=0解出n的值即可.2探究：(1)因为=(-3n2+1200n+67500)+Δn.当Δn无限趋近于0时,-3n2+1200n+67500+Δn无限趋近于-3n2+1200n+67500.∴P′(n)=-3n2+1200n+67500.由P′(n)=0,即-3n2+1200n+67500=0.解得n=450或n=-50(舍).即当边际利润函数P′(n)=0时,n的值为450.(2)P′(n)=0时,n的值为450表示的实际意义是当工厂生产450根钢管时,利润增加量为零.3
