几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列各式中正确的是()A.(lnx)′=xB.(cosx)′=sinxC.(sinx)′=cosxD.(x-8)′=-x-9【解析】选C.因为(lnx)′=,(cosx)′=-sinx,(x-8)′=-8x-9=-,所以A,B,D均不正确,C正确.2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是()A.1B.0C.2D.【解析】选D.因为y′=,所以当x=2时,y′=,故图象在x=2处的切线斜率为.3.(2015·西安高二检测)运动物体的位移s=3t2-2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为()A.281B.58C.85D.10【解析】选B.因为s=3t2-2t+1,所以s′=6t-2.当t=10时,s′=6×10-2=58.即此物体在t=10时的瞬时速度为58.4.正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是()A.∪B.[0,π)C.∪D.【解析】选A.因为y′=cosx,而cosx∈[-1,1].所以直线l的斜率的范围是[-1,1],所以直线l倾斜角的范围是∪.5.(2015·沈阳高二检测)已知f(x)=,则f′(-1)=()A.B.-C.D.-【解题指南】先利用初等函数的求导公式求导,再求f′(-1)的值.【解析】选D.因为f(x)==,1所以f′(x)=-,所以f′(-1)=-(-1=-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知f(x)=xa,a∈Q,若f′(-1)=-4,则a=________.【解析】因为f′(x)=axa-1,所以f′(-1)=a(-1)a-1=-4,所以a=4.答案:4【补偿训练】y=xα在x=1处的切线方程为y=-4x,则α的值为________.【解析】y′=(xα)′=αxα-1,由条件知,当x=1时,y′=-4,即α=-4.答案:-47.(2015·长春高二检测)在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P点坐标为________.【解析】设P(x0,y0),因为y′=′=(4x-2)′=-8x-3,tan135°=-1,所以-8=-1.解得x0=2,y0==1.答案:(2,1)8.曲线y=cosx在点A处的切线方程为________.【解析】因为y′=(cosx)′=-sinx,所以当x=时,y′=-sin=-,所以在点A处的切线方程为y-=-,即x+2y--=0.答案:x+2y--=0三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数的导数:(1)y=x15.(2)y=.(3)y=.(4)y=10x.2【解析】(1)y′=(x15)′=15x14.(2)y′=′=(x-9)′=-9x-10=-.(3)y′=()′=()′==.(4)y′=(10x)′=10xln10.10.(2015·惠州高二检测)求过曲线y=ex上点P(1,e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程.【解题指南】先求出切线的斜率,再求出其垂线的斜率,进而得出直线方程.【解析】因为y′=ex,所以曲线在点P(1,e)处的切线斜率是e,所以过点P且与切线垂直的直线的斜率k=-,所以所求直线方程为y-e=-(x-1),即x+ey-e2-1=0.【补偿训练】已知函数y=asinx+b的图象过点A(0,0),B,试求函数在原点处的切线方程.【解析】因为y=asinx+b的图象过点A(0,0),B,所以解得所以y=sinx.又因为y′=cosx,所以当x=0时,y′=1.所以函数在原点处的切线方程为y=x.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·惠州高二检测)下列函数求导正确的是()A.(x2)′=xB.′=-C.′=D.(ln3)′=【解析】选B.因为(x2)′=2x,′=-,′=,(ln3)′=0.所以B选项正确.2.(2015·宝鸡高二检测)已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为3()A.B.-C.-eD.e【解析】选D.设切点为(x0,).y′=ex,当x=x0时,y′=,所以过切点的切线方程为y-=(x-x0),即y=x+(1-x0),又y=kx是切线,所以所以【延伸探究】若将本题中的曲线“y=ex”改为“y=lnx”,则实数k=()A.B.-C.-eD.e【解析】选A.设切点为(x0,lnx0).y′=,当x=x0时,y′=,所以过切点的切线方程为y-lnx0=(x-x0),即y=x+lnx0-1,所以所以二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·西安高二检测)若函数y=f(x)满足f(x-1)=1-2x+x2,则y′=f′(x)=________.【解题指南】先求出函数y=f(x)的解析式,再进行求导.【解析】因为f(x-1)=1-2x+x2=(x-1)2,所以f(x)=x2,f′(x)=2x.答案:2x4.(2015·梅州高二检测)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为________.【解析】y′=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=.4an=lgxn=lg=lgn-lg(n+1),则a1+a2+…+a99=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=-lg100=-2.答案:-2三、解答题(每小题10分,共20分)5.求过点(2,0)且与曲线y=x3相切的直线方程.【解题指南】先判断点是否在曲线上,然后根据具体情况求切线方程.【解析】点(...
