2.2.2椭圆的几何性质[基础达标]1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．解析：把椭圆的方程化为标准形式＋＝1，故a2＝，b2＝1，所以a＝，b＝1,2＝4，解得，m＝，符合题意．答案：2．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0
b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，如果∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率是________．解析：在Rt△PF1F2中，由正弦定理，得＝＝＝2c，∴＝2c.由椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2a.代入上式，有e＝＝＝.答案：6．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是________．解析：由题意得，圆半径r＝，因为△ABC是锐角三角形，所以cos0>cos＝>cos，即<<1，所以<<1，即<<1，解得e∈.答案：7．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两个焦点F1，F2组成的三角形的周长为4＋2，且∠F1BF2＝，求椭圆的标准方程．解：设长轴长为2a，焦距为2c，则在△F2OB中，由∠F2BO＝得：c＝a，所以△F2BF1的周长为2a＋2c＝2a＋a＝4＋2，∴a＝2，c＝，∴b2＝1；故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.8．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB＝2OA，求直线AB的方程．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，则a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝，又由OB＝2OA，得x＝4x，即＝，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.[能力提升]1．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．1解析：椭圆＋＝1的右焦点F2(1,0)，故直线AB的方程y＝2(x－1)，由，消去y，整理得3x2－5x＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1
