考点集训(二十一)第21讲简单三角恒等变换对应学生用书p223A组题1．若＝－，则sinα＋cosα的值为()A．－B．－C.D.[解析]由已知得＝＝－，整理得sinα＋cosα＝.[答案]C2．若tanα＝2tan，则＝()A．1B．2C．3D．4[解析]＝＝＝＝＝＝＝3.[答案]C3．已知tanα＝2，则3sin2α－cosαsinα＋1＝()A．3B．－3C．4D．－4[解析]3sin2α－cosαsinα＋1＝4sin2α－cosαsinα＋cos2α＝＝3.[答案]A4．已知锐角α满足cos2α＝cos，则sin2α等于()A.B．－C.D．－[解析]∵α∈，∴2α∈(0，π)，－α∈.又cos2α＝cos，2α＝－α或2α＋－α＝0，∴α＝或α＝－(舍)．∴sin2α＝sin＝.[答案]A5．已知0<α<π，sinα·cosα＝－，则＋＝__________．[解析]因为0<α<π，sinα·cosα＝－，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝0，即sinα＋cosα＝0，则＋＝＝＝4.[答案]46．化简：·＝__________．[解析]原式＝·＝·＝·＝.[答案]7．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β＝________．[解析]因为tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝<1，所以0<α<.又因为tan2α＝＝＝<1，所以0<2α<.所以tan(2α－β)＝＝＝1.因为0<β<π，所以－π<2α－β<，所以2α－β＝－.[答案]－8．(1)已知sinα＝，cosβ＝，其中α∈，β∈，求cos(α＋β)；(2)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．[解析](1)∵α∈，β∈，sinα＝，cosβ＝，∴cosα＝－，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－1.(2)∵0<α<，cosα＝，∴sinα＝，∵0<β<α<，cos(α－β)＝，∴0<α－β<，∴sin(α－β)＝，∴sinβ＝sin(α－(α－β))＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.∴β＝.B组题1．已知函数f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈.若f(x1)x2C．xx[解析]f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝cos4x＋，4x∈[－π，π]，所以函数f(x)是偶函数，且在上单调递减，根据f(x1)|x2|，即x>x.[答案]D2．若tan＝sin2α＋cos2α，α∈，则tan(π－α)＝________．[解析]设tanα＝t(t<0)，∵tan＝，sin2α＋cos2α＝，∴＝，解得t＝0或－3，又t<0，∴t＝－3，∴tan(π－α)＝－tanα＝3.[答案]33．等边△ABC的边长为1，点P在其外接圆劣弧AB上，则S△PAB＋S△PBC的最大值为____________．[解析]设∠ACP＝θ，则∠PCB＝－θ，∠PBC＝＋θ，外接圆半径为R，在△ABC中，2R＝＝，同理PA＝sinθ，PB＝sin，PC＝sin，则S△PAB＋S△PBC＝PB×(PA＋PC)＝sin＝＝＝＝sin.当θ＝时，S△PAB＋S△PBC的最大值为.[答案]4．求证：－2cos(α＋β)＝.[解析]∵－2cos(α＋β)＝＝＝＝＝＝，∴等式成立．5．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋t＝0的两个根为sinα，cosα，α∈(0，2π)．求：(1)＋的值；(2)实数t的值；(3)方程的两个根及此时α的值．[解析](1)＋＝＋＝＝＝sinα＋cosα＝.(2)因为sinα＋cosα＝，α∈(0，2π)，两边平方可得sinαcosα＝，故t＝.(3)将t＝代入方程得：2x2－(＋1)x＋＝0，(2x－1)＝0，∴x1＝，x2＝为方程两根．∴sinα＝，cosα＝或sinα＝，cosα＝.即α＝或α＝.
