（新课标）高考数学大一轮复习 定点、定值、探索性问题课时跟踪检测（六十）理（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

课时跟踪检测(六十)定点、定值、探索性问题(分A、B卷，共2页)A卷：夯基保分1．已知F为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，抛物线上点G(2,2)满足|GF|＝3.(1)求抛物线的方程；(2)M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A，B两点，A，B两点的横坐标均不为4，连接AM，BM并延长交抛物线于C，D两点，设直线CD的斜率为k2，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．2．(2015·开封模拟)已知抛物线C：x2＝4y.(1)设P为直线l：x－y－2＝0上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(2)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．3．(2015·武汉调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为N，是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．B卷：增分提能1．(2014·山东高考改编)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标．2．已知直线l：y＝x＋，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．3．(2014·福建高考)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B．试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．答案A卷：夯基保分1．解：(1)根据抛物线定义知|GF|＝2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则k1＝＝＝，同理k2＝.设AC所在直线的方程为x＝ty＋4，与y2＝4x联立，得y2－4ty－16＝0，所以y1y3＝－16，同理y2y4＝－16，所以k2＝＝－·.设AB所在直线的方程为x＝my＋1，与y2＝4x联立，得y2－4my－4＝0，所以y1y2＝－4，所以k2＝－·＝，所以是定值，且＝4.2．解：(1)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2，求导得y′＝x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．故直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.(2)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，联立方程消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，由根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2，所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝22＋，所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.3．解：(1)设F(c,0)，则＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线方程为x＝c，代入椭圆方程，有＋＝1，解得y＝±b.于是b＝，解得b＝1.又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQN的垂心．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为N(0,1)，F(1,0)，所以kNF＝－1.由NF⊥PQ，知kPQ＝1.设直线l的方程为y＝x＋m，由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.由Δ＞0，得m2＜3，且x1＋x2＝－，x1x2＝.由题意，有�NP·�FQ＝0.因为�NP＝(x1，y1－1)，�FQ＝(x2－1，y2)，所以x1(x2－1)＋y2(y1－1)＝0，即x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，所以2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0，于是2×－m(m－1)＋m2－m＝0，解得m＝－或m＝1.经检验，当m＝1时，...