第2章2.2.2第1课时VIP免费

2．2.2函数的奇偶性第1课时奇偶性的概念明目标、知重点1.理解函数的奇偶性及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤．1．函数奇偶性的概念(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．(2)如果对于函数y＝f(x)的定义域内的任意的一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．2．奇、偶函数图象的对称性(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．3．判断函数奇偶性的原则判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．[情境导学]美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体，中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称美．这种“对称美”在数学中也有大量的反映．今天，让我们开启知识的大门，进入函数奇偶性的学习．探究点一偶函数的概念思考1观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出三个函数的共同特征吗？并比较f(x)与f(－x)的大小？答三个函数的定义域关于原点对称，三个函数的图象关于y轴对称，即f(x)＝f(－x)．思考2如果函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，我们就说这个函数是偶函数，那么如何从代数的角度定义偶函数？答一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．思考3通过前面的探究，你能得出偶函数的图象有怎样的对称性质吗？答如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数为偶函数．例1判断下列函数哪些是偶函数．(1)f(x)＝x2＋1；(2)f(x)＝x2，x∈[－1,3]；(3)f(x)＝0.解(1)由解析式可知函数的定义域为R，由于f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，所以函数为偶函数．(2)由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数．(3)函数的定义域为R，由于f(－x)＝0＝f(x)，所以函数为偶函数．反思与感悟利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量．跟踪训练1判断下列函数是否为偶函数．(1)f(x)＝(x＋1)(x－1)；(2)f(x)＝.解(1)函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．(2)函数f(x)＝不是偶函数，因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，并不关于原点对称．探究点二奇函数的概念思考1观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？答容易得到两个函数的定义域关于原点对称，图象关于原点对称．思考2类比偶函数的定义，请给奇函数下个定义．答对于定义域内任意的一个x，都有f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为奇函数．小结(1)奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数；(2)函数的奇偶性：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性，而如果一个函数既不是奇函数，也不是偶函数(常说该函数是非奇非偶函数)，则说该函数不具有奇偶性；(3)奇、偶函数的性质：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．思考3类比偶函数图象的对称性，奇函数的图象有怎样的对称性质呢？答奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．例2判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)＝x4－1；(2)f(x)＝2x；(3)f(x)＝2|x|；(4)f(x)＝(x－1)2.解(1)因为对于任意的x∈R，都有f(－x)＝(－x)4－1＝x4－1＝f(x)，所以函数f(x)＝x4－1是偶函数．(2)函数f(x)＝2x的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有f(－x)＝2(－x)＝－2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．(3)函数f(x)＝2|x|的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝2|x|是偶函数．(4)函数f(x)＝(x－1)2的定义域是R.因为f(1)＝0，f(－1)＝4，所以f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1)．因此，根据函数奇偶性定义，可以...