平面向量的数量积一、知识梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝b，则________就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则_________________.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b___________；若θ＝180°，则a与b______________；若θ＝90°，则a与b_____________2.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量____________________叫做a和b的数量积(或内积)，记作__________________________．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．3.平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝__________(交换律)；(2)(λa)·b＝________＝________(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝____________.4.平面向量数量积的有关结论及坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模|a|＝___________|a|＝_____________夹角cosθ＝___________cosθ＝_____________a⊥b的充要条件________________________________二、基础自测1.下列命题正确的是_________________(填序号)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(2)由a·b＝0可得a＝或b＝(3)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(4)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(5)(a·b)c＝a(b·c)．(6)2.已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则a·b＝_______.3.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．4.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．5.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.三、例题分析题型一平面向量的数量积的运算【例1】(1)在中，，则=____________1(2)已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则的值为___________.【变式训练1】平行四边形中，，点在边上，且，则___________________题型二平面向量的垂直与夹角问题【例2】(1)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝______.（2）已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，若2a－3b与c的夹角为钝角，求k的取值范围．(3)已知a，b都是非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为________．2【变式训练2】已知向量a，b都是非零向量，且a＋3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角。题型三平面向量的模及其应用[例3](1)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.(2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足，则的取值范围是_____________．(3)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为________．平面向量的数量积课后作业1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝________.2．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________.3．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝________.34.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝______________.5．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则AB·AC＝__________.6．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.7．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.8．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.9.已知坐标平面内OA＝(1,5)，OB＝(7,1)，OM＝(1,2)，P是直线OM上一个动点，当PA·PB取最小值时，cos∠APB＝________.10.已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是_______．11.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．12.已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)．(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)4
