两角和与差的正弦1基础·名师导读知识点1两角和与差的正弦公式两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，(Sα＋β)两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)讲重点对两角和与差的正弦公式的正确理解(1)公式中的α，β均为任意角．(2)与两角和与差的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ.(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如sin(2π－α)＝sin2πcosα－cos2πsinα＝0×cosα－1×sinα＝－sinα，当α或β中有一个角是π2的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便．(4)使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换，还要掌握整体思想等，这是灵活使用公式的前提，特别是三角函数公式．如化简sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而是采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα，这也体现了数学中的整体原则．(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相同.知识点2辅助角公式形如asinx＋bcosx(a，b不同时为0)的式子可以化为一个三角函数式．即asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.重点解读辅助角公式(1)asinx＋bcosx(a，b不同时为0)中的角x必须为同一个角，否则不成立．(2)通过化单角(x)为复角(x＋θ)，达到减少函数名称，合二为一的目的．最终化为一个(复)角的一种三角函数，有利于进一步研究相关性质．(3)化简的形式不唯一．由于选用的辅助角不一样，所以化简的结果也会不相同，这实际上是由化简过程中采用的公式决定的．如f(x)＝3sinx＋cosx可以写成f(x)＝2sinx＋π6还可以写成f(x)＝2cosx－π3.2说方法·分类探究类型一给角求值问题【例1】化简求值：(1)cos11°sin49°＋sin11°cos49°；(2)sin63°sin123°－cos117°sin33°；(3)sin(α－30°)＋sin(α＋30°)；(4)sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα.解析：(1)原式＝sin(11°＋49°)＝sin60°＝32.(2)原式＝sin63°sin(90°＋33°)＋cos(180°－63°)sin33°＝sin63°cos33°－cos63°sin33°＝sin(63°－33°)＝sin30°＝12.(3)原式＝sinαcos30°－cosαsin30°＋sinαcos30°＋cosαsin30°＝2sinαcos30°＝3sinα.(4)原式＝sin(α＋β－α)＝sinβ.总结(1)两角和、差的正弦、余弦的正用应记住公式特点：正弦是异名相乘，符号相同；余弦同名相乘，符号相反．(2)逆用应准确找出所给式子与公式右边的异同，创造条件逆用公式；其次，应抓住所给角的关系，逐一分析条件中的哪个角对应公式中的角α，β.变式训练1求下列各式的值：(1)sin75°；(2)sin15°；(3)sin13°cos17°＋cos13°sin17°；(4)sin70°cos25°－sin20°sin25°；(5)sin119°sin181°－sin91°sin29°.解析：(1)sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24.(3)原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝12.(4)原式＝sin70°cos25°－cos70°sin25°＝sin(70°－25°)＝sin45°＝22.(5)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)sin29°＝cos29°(－sin1°)－cos1°sin29°＝－(sin29°cos1°＋cos29°sin1°)＝－sin(29°＋1°)＝－sin30°＝－12.类型二给值求值问题【例2】(1)已知sinα＝－35，sinβ＝1213，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求sin(α－β)，cos(α＋β)的值；(2)已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，3π2＜α＋β＜2π，π2＜α－β＜π，求cos2α的值．解析：(1) sinα＝－35，180°＜α＜270°，∴cosα＝－45. sinβ＝1213，90°＜β＜180°，∴cosβ＝－513.∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－35×－513－－45×1213＝636...
