如图，AD、AE分别是△ABC的内角∠BAC和外角∠BAF的平分线，BE⊥AE，DA⊥BC
求证：四边形AEBD是矩形
CAFBED证明：∵AD、AE分别是∠BAC，和∠BAF的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∠BAE=∠EAF
又∠BAC+∠BAF=180°，∴∠BAD+∠BAE=90°，即∠DAE=90°
∴DA⊥AE，又BE⊥AE，DA⊥BC，∴四边形AEBD是矩形
CAFBED2
一个四边形满足：它的每个顶点到其他三个顶点的距离之和相等
试证明该四边形为矩形
解：以A点的角度看，S=AB+AD+AC……①
以B点的角度看，S=BA+BD+BC……②
以C点的角度看，S=CA+CB+CD……③
以D点的角度看，S=DA+DB+DC……④
DABC由②、④得AD+DC=AB+BC……（1），由①、③得BA+AD=CB+CD……（2），由（1）+（2）得2AD=2BC，∴AD=BC把这个结论代入（1）得DC=AB，∴四边形是平行四边形
又对角线相等，∴四边形是矩形
如图，将ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC=2∠D，连结AC、BE
求证：四边形ABEC是矩形
BACEDF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠D，又CE=CD，即AB=CE，∴四边形ABEC是平行四边形
∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC
又∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB
∴四边形ABEC是矩形
BACEDF
