1.3.1简单曲线的极坐标方程VIP专享VIP免费

1.3简单曲线的极坐标方程2025年1月21日曲线的极坐标方程定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。则曲线Ｃ的方程是f(,)=0。如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xC(a,0)O)1()0,2(),2,0()1.(..........cos2cos),(,2的坐标满足等式可以验证，点＝即中。在以外的任意一点，那么，为圆上除点设＝，那么是交点。设圆与极轴的另一个解：圆经过极点aAOaMOAOAOMAMORtAMOMAOMaOAAO的点都在这个圆上。等式，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面坐标就是圆上任意一点的极所以，等式)1(),()1(归纳:求曲线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点是曲线上任意一点；(,)M3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求(可以省略)。例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？简单。上比式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重＝即为圆上任意一点，则设都等于半径何特征就是它们的极径么圆上各点的几为极轴建立坐标系，那出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心)1(,),(.rrOMMrOO题组练习1求下列圆的极坐标方程(１)中心在极点，半径为2；(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；(３)中心在(a,/2)，半径为a；(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。＝2＝2acos＝2asin2+02-20cos(-０)=r2解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点,如下图所示,在△OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ.根据余弦定理,得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1),即r2=ρ21+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1).也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ21-r2)=0.这就是圆在极坐标系中的一般方程.1:,A(85.,),3变式在极坐标平面上求圆心半径为的圆的方程极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少22练习2以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是.2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC练习3曲线关于极轴对称的曲线是：sin5cos35610610610610cos.Dcos.Ccos.Bcos.AC练习4小结：（１）曲线的极坐标方程概念（２）怎样求曲线的极坐标方程（3）圆的极坐标方程1、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值（？）对于点M（，）负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=OXPM二.直线的极坐标方程OXP=/4M在极坐标系中画出点M（－3，/4）的位置[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3练习负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点的一个负极径的极坐标（6，）6答：（－6，+π）6特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0。因为负极径只在极少数情况用。例题2：求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。4oMx﹚4分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是，其/4极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为(0)42.直线的极坐标方程1、求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。54易得5(0)4思考：2、求过极点，倾角为的直线的极坐标方程。4544或()4R5()4R和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？0为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为)(45)(4RR或求直线的极坐标方程步骤1.根据题意画出草图；2.设点M(,)是直线上任意一点;3.连接MO；4.根据几何条件建立关于,的方程,并化简；5.检验并确认所得的方程即为所求.例题3、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极...