2015届高三培优辅导资料（3）VIP免费

2015届高三培优辅导资料（三）已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。解：设点M、N的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为(xp，yp)。若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1。由方程组，消去y，得，即(k−1)x2+x−1=0。由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ=1+4(k−1)>0…(1)，…(2)，…(3)，由此解得。对求导，得，则，，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为…(4)。同理可求得直线l2的方程为…(5)。(4)−(5)得，因为x1≠x2，故有…(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得…(7)，其中，，代入(7)式得2yp=(3−2k)xp+2，而xp=2，得yp=4−2k。又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．设，不妨设．直线的方程:，化简得．又圆心到的距离为1，，故，易知，上式化简得，同理有．所以，，则．因是抛物线上的点，有，则，．所以．当时，上式取等号，此时．因此的最小值为8．设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为．作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求△的面积．1.双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.提示：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值.解法一：设线段的中点为，则，.线段的垂直平分线的方程是.（1）易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.由（1）知直线的方程为，即.（2）（2）代入得，即.（3）依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,.C(5,0)BAxyO.定点到线段的距离..当且仅当，即,或时等号成立.所以，面积的最大值为.解法二：同解法一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.设，则的绝对值,,所以,当且仅当且，即,或时等号成立.所以，面积的最大值是.动点轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．例1（1994年全国）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：122yx，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数0（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有MQMN，即MQONMO22，2222)2(1yxyx．整理得0)41(4)1()1(222222xyx，这就是动点M的轨迹方程若1，方程化为45x，它表示过点)0,45(和x轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为2222222)1(3112yx）－（，它表示以)0,12(22为圆心，13122为半径的圆．二、代入法若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．例2（1986年全国）已知抛物线12xy，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．解：设),(),,(11yxByxP，由题设，P分线段AB的比2PBAP，∴.2121,212311yyxx解得2123,232311yyxx.又点B在抛物线12xy上，其坐标适合抛物线方程，∴.1)2323()2123(2xy整理得点P的轨迹方程为),31(32)31(2xy其轨迹为抛物线．三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线...