学科：奥数年级：初二不分版本期数：347本周教学内容：整除的判定我们知道，任意两个整数相加、相减、相乘的结果都是整数，而两个整数相除，它们的商就不一定是整数了，也就是说，整数对加、减、乘运算是封闭的，而对于除法并不是封闭的，这样就出现了整除和余数这两个概念。本期主要研究整除性和整除的判定，以及余数问题等。本期所涉及的字母如无特别说明都表示整数。【要点讲解】§1.整除性30除以6得到的商是5,我们就叫30能被6整除，31除以6得到的商不是整数，31就不能被6整除。一般地，若整数&除以整数所得的商是一个整数？，即存在一个整数q,使得a=bq成立，就叫做'能被b整除，或叫做b能整除•记作bla，这时称诅是b的倍数，b是说的约数(或因数)。显然，+1和-1是任何整数的约数，o是任何非零整数的倍数，血F是它本身的约数，也是它本身的倍数。关于整除有下面一些明显的结论：(1)若alb,blc,则ale(2)若ela,elb,则elma+nb,特别地，ela+b,ela-b.(3)若bla,n为整数，则blna.工°)应用这些性质可以解决一些简单的约数和倍数问题。★例1N=2肃*是一个被17整除的四位数，求X。解？7=207S+100工=(122X17)+17X6X+4-2A=17(122+6x)+[4-2z)因17lN,17|肛2+张)所以17l(4—2x)而x为0〜9的整数，故只有当x=2时，才有可能17l(4-2x)。故x=2为所求。★★例2若亦心是互不相等的整数，且整数x满足等式(疋一(3)(卞一右)(卞一<7)(工一&)一9=0【内容综求证：4l(a+b+c+d)证明：已知等式可化为(工一◎)(羞一占)(兀一€)(兀一出)=9由于减是互不相等的整数，则花一门皿一厲兀一亡川一已也是互不相等的整数，且均为9的约数，于是只能等于9的四个互不相等的约数：+3,-3,+1,-1,即++(X-C)+)」+引+卜引+(+1)+(—1)=0,，4工=应+鸟+亡+出故4l(a+b+c+d)§2、带余除法若庄不能被b整除，得到一个整数商后还会有余数。比如14被3除得到商是4,余数是2，被除数14,除数3,商数4和余数2之间可用这样一个表示。14=3x4+2实际上，这个结果可以推广到一般情况，这就是下面的定理：对于整数皿和“°)，存在唯一的整数q和r,使得&=bq+r(O
