1．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），A′∴（﹣1，0），B′（0，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0）， 抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=x﹣2+x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）方法二： A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x2﹣）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（02﹣），解得：a=1﹣，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x2﹣）=x﹣2+x+2；（2） P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=x﹣2+x+2．连接PB，PO，PB′，S∴四边形PB′A′B=SB′OA′△+SPB′O△+SPOB△，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=x﹣2+2x+3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）A′O=1 ，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=x﹣2+2x+3，即x22x+1=0﹣，解得：x1=x2=1，此时y=1﹣2+1+2=2，即P（1，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：B′A′B=PBA′①∠∠或∠A′B′P=BPB′∠；②PA′=B′B；③B′PA′B∥；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）第1页（共10页）2．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）如图，过B点作BCx⊥轴，垂足为C，则∠BCO=90°，AOB=120° ∠，BOC=60°∴∠，又 OA=OB=4，OC=∴OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2） 抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得：，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）存在；如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在RtP′OD△中，∠P′DO=90°，sinP′OD=∠=，P′OD=60°∴∠，P′OB=P′OD+AOB=60°+120°=180°∴∠∠∠，即P′、O、B三点在同一直线上，y=2∴不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=2﹣，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2﹣，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2）．第2页（共10页）3．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MNy∥轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=x+5﹣；将B...
