三元次方程组解法教师用初中数学VIP专享VIP免费

1/6第八讲三元一次方程组解法举例教学目标：（1）了解三元一次方程组的概念.（2）会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．（3）掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．（4）通过消元可把“三元”转化为“二元”，充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本思路.教学重、难点：（1）会解简单的三元一次方程组．(2)通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．(3)针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．知识梳理：方程组含有3个相同的未知数，每个方程式中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。注意:每个方程不一定都含有三个未知数,但方程组整体上要含有三个未知数.解题思路：思路:解三元一次方程组的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加减法.步骤:①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解.4:解三元一次方程组同解二元一次方程组类似,消元时,选择系数较简单的未知数较好.灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组.典型例题：一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组③②①yxzyxzyx4225212分析：方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。解法1：代入法，消x.类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。解法2：消z.类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组③②①172162152zyxzyxzyx分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解：由①+②+③2/6典型例题举例：解方程组解：由①+②+③得类型三：轮换方程组，求和作差型.例3：解方程组②①21327:2:1::zyxzyx分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x；由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即2,7,2321.yxzxxyz①②③，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解。解法1：由①得y=2x，z=7x，并代入②分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②典型例题举例：解方程组③②①4:5:2:3:111zyxyzyx分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x=23y；由③得z=45y.从而利用代入法求解。解法1：略.分析2：受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12。解法2：由②、③得x:y:z=10:15:12.设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型.二、三元一次方程组之一般型例4：解方程组34,6,2312.xyzxyzxyz①②③分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：消元的选择1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。3/6解：③②①1232643zyxzyxzyx（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）①+③得5x+2y=16，④(体现第一次使用在①③后做记号√)②+③得3x+4y=1...