1/35第三章常见曲面§3.1球面和旋转面1.1球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点0000,,zyxM，半径为0R的球面方程。根据以下充分必要条件(,,)Mxyz在球面上0MMR，得2222000xxyyzzR，（3.1）展开得2221232220,xyzbxbybzc（3.2）其中，2222102030,000,,bxbybzcxyzR。(3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(yzxzxy,,项),平方项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成：,0232221232221bbbcbzbybx当cbbb232221时，它表示一个球心在321,,bbb，半径为cbbb232221的球面；当cbbb232221时，它表示一个点32,1,bbb；当cbbb232221时，它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。1.2球面的参数方程，点的球面坐标如果球心在原点，半径为R，在球面上任取一点zyxM,,,从M作xOy面的垂线，垂2/35足为NN，连,OMON。设x轴到ON的角度为，ON到OM的角度为(M在xOy面上方时，为正，反之为负)，则有coscos,cossin,02,.22sin,xRyRzR（3.3）(3.3)称为球心在原点，半径为R的球面的参数方程，有两个参数,，其中称为经度，称为纬度。球面上的每一个点(除去它与z轴的交点)对应唯一的对实数,，因此,称为球面上点的曲纹坐标。因为空间中任一点zyxM,,必在以原点为球心，以ROM为半径的球面上，而球面上点（除去它与z轴的交点外）又由它的曲纹坐标,唯一确定，因此，除去z轴外，空间中的点M由有序三元实数组,,R唯一确定。我们把,,R称为空间中点M的球面坐标（或空间极坐标），其中0R，,0222。点M的球面坐标,,R与M的直角坐标zyx,,的关系为coscos,0,cossin,-,22sin,02xRRyRzR（3.4）1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程zyxF,,=0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程：(,),(,),,,(,),xxuvyyuvaubcvdzzuv（3.5）其中，对于vu,的每一对值，由（3.5）确定的点zyx,,在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由vu,的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的3/35点（可能要除去个别点）便可以由数对vu,来确定，因此vu,称为曲面上的曲纹坐标。空间中曲线的普通方程是两个三元方程的联立：(,,)0,(,,)0.FxyzGxyz即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线，曲线的参数方程是含有一个参数的方程：(),(),.(),xxtyytatbzzt（3.6）其中，对于btat的每一个值，由（3.6）确定的点zyx,,在此曲线上，而此曲线上任一点的坐标都可由t的某个值通过（3.6）表示。例如，球面xOyRzyx与2222平面相交所得的圆的普通方程为：2222,0.xyzRz而这个圆的参数方程是：cos,sin,02.0xRyRz1.4旋转面球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面。下面研究更一般的情形。一、旋转面的定义定义3.1一条曲线上每个点0M绕l旋转得到一个圆，称为纬圆，纬圆与轴垂直，过l的半个平面与旋转面的交线为经线（或子午线）。经线可以作为母线，但母线不一定是经线。已知轴l过店1111,,zyxM，方向向量为nmlv,,，母线的方程为：4/35(,,)0(,,)0FxyzGxyz二、旋转面的方程的求法点zyxM,,在旋转面上的充分必要条件是M在经过母线上某一点0000,,zyxM的纬圆上（如图3.2）。即，有母线上的一点0M使得0MM和到轴l的距离相等（或到轴上一点1M的距离相等）；并且lMM0。因此，有000000101000,,0,,,0,.,0.FxyzGxyzMMMMlxxmyynzz（3.7）从这个方程中消去参数,000,,zyx就得到zyx,,的方程，它就是所求旋转面的方程。例1：求直线1210xyz绕直线xyz旋转所得的旋转面的方程。解：设1111(,,)Mxyz是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过1M的纬圆方程为1112222221111()1()1()0,;xxyyzzxyzxyz（1）由于1111(,,)Mxyz在母线上，所以又有1111210xyz，即1112,1xyz，（2）由（1），（2）消去111,,xyz得所求旋转面方程为22229(1)5xyzxyz。三、坐标平面上的曲线绕某坐标轴在旋转所得旋转面的方程5/35现在设),,(111zyxM旋转轴为z轴，母线在yOz平面上，其方程为：,0,0,fxyx则点zyxM,,在旋转面上的充分必要条件是：0002222000,0,0,,10.fyzxxyxyzz消去参数,000,,zyx得22,0fxyz。（3.8）（3.8）就是所求旋转面的方程。由此看出，为了得到yOz平面...
