三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。1、已知，如图ABC中，5AB，3AC，求中线AD的取值范围。分析：本题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长AD到E，使DADE，连接BE又 CDBD，CDABDE∴SASCDABDE，3ACBE BEABAEBEAB(三角形三边关系定理)即822AD∴41AD2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DFDE，D是中点，试比较CFBE与EF的大小。证明：延长FD到点G，使DFDG，连接BG、EG CDBD，DGFD，CDFBDG∴CDFBDG∴CFBG DFDE∴EGEF在BEG中，EGBGBE CFBG，EGEF∴EFCFBE3、如图，ABC中，ACDCBD，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.证明方法一：利用相似论证。证明： ACDCBD∴BCAC21 E是DC中点ECABDECABDGFECABD∴ACDCEC2121，BCAACE∴BCA∽ACE∴CAEABC DCAC∴DACADC，BADABCADC∴CAEDAEBADABC∴DAEBAD即AD平分BAE证明方法二：利用全等论证。证明：延长AE到M，使AEEM，连结DM易证CEADEM∴MDEC，DMAC又 ACDCBD∴DMBD，CADADC又 CADCADB，ADCMDEADM∴ADBADM∴ADBADM∴DAEBAD即AD平分BAE4、以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90CAEBAD，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点。探究：AM与DE的位置关系及数量关系。（1）如图1当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；MECABD图1MNCABDNECABDM图2（2）将图1中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（900）后，如图2所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。解：（1）AMED2，EDAM；证明：延长AM到G，使AMMG，连BG，则ABGC是平行四边形∴BGAC，180BACABG又 180BACDAE∴DAEABG再证：ABGDAE∴AMDE2，EDABAG延长MN交DE于H 90DAHBAG∴90DAHHDA∴EDAM（2）结论仍然成立．证明：如图，延长CA至F，使FAAC，FA交DE于点P，并连接BF BADA，AFEA∴EADDAFBAF90 在FAB和EAD中∴EADFAB（SAS）∴DEBF，AENF∴90AENAPEFFPD∴DEFBGCHABDMNEFCPABDMNE又 AFCA，MBCM∴FBAM//，且FBAM21∴DEAM，DEAM215、如图，ABC中，ACAB2，AD平分BAC，且BDAD，求证：ACCD证明：过D作ABDM，垂足为M∴90BMDAMD又 BDAD，DMDM∴BDMADM∴BMAM ACAB2∴AMAC AD平分BAC∴CADBAD在ADC和ADM中AMAC，CADBAD，ADAD∴ADCADM∴90ADMACD即:ACCD6、如图，BDAC//，EA，EB分别平分CAB，DBA，CD过点E，求证：BDACAB证明：在AB上截取ACAF，连接EF在CAE和FAE中AEAEFAECAEAFAC∴FAECAEMCABDFEAC∴FEACEA∴90FEBFEABEDCEA即DEBFEB在DEB和FEB中∴FEBDEB（ASA）∴BFBD∴BDACBFAFAB7、如图，已知在ABC内，60BAC，40C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BPABAQBQ证明：延长AB到D，使BPBD，连接PD．则5D AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线，60BAC，40C∴302...
