实用文档1例如图，△ABC的内心为I，外心为O，且∠BIC=115°，求∠BOC的度数．解：∵I为△ABC的内心，∴∠IBC=21∠ABC，∠ICB=21∠ACB．∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°．∴∠ABC+∠ACB=130°．∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=50°．又O是△ABC的外心，∴∠BOC=2∠A=100°说明：（1）此题为基本题型；（2）此题可得：∠BIC=90°+21∠A；∠BOC=4∠BIC-360°．例已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长．分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解．解：由勾股定理得：322ACABBC连结OA、OB、OC，设⊙O的半径为r，则：rCABCABSABC)(21△，又BCACSABC21△．∴BCACrCABCAB21)(21，∴143534CABCABBCACr．答：直角三角形内切圆的半径为1．说明：（1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度．例（陕西省，2001）如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于D，交△ABC的外接圆于点E．（1）求证：IE=BE；（2）若IE=4，AE=8，求DE的长．证明：（1）连结BI，ABCOI实用文档2∵∠BIE=∠BAI+∠ABI=21（∠BAC+∠ABC），∠IBE=∠IBC+∠EBC=21∠ABC+∠EAC=21（∠ABC+∠BAC），∴∠BIE=∠IBE∴IE=BE解：（2）∵I是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠DBE=∠CAE，∴∠BAE=∠DBE，又∵∠E为公共角，∴△ABE∽△BDE，∴DEBEBEAE，∴DEAEBE2∴DEAEIE2，∴284AEIEDE22．说明：（1）本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等；（2）本题为教材117页12题和B组第3题的变形与结合；（3）本题为中档题．典型例题四已知：如图，设ABC为Rt，90C，以AC为直径作⊙O交AB与D，设E是BC的中点，连结OD、OE，求证：ODDE.证明连结CD.ABCDEI
