三角形重心性质定理1．三角形重心性质定理课本原题（人教八年级《数学》下册习题第16题）在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系BC边上的中线是否一定过点O为什么（提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND）分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。证法1：（根据课本上的提示证明）（点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。）（点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。）2.三角形重心性质定理的应用⑴求线段长例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE=cm。解：⑵求面积例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。解：练习：1.如图5，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG=。2.如图6，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD的面积为。巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例1在数学活动中，小明为了求23411112222⋯12n的值（结果用n表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222⋯12n的值.解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222⋯12n12n表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222⋯12n112n.【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算.二、求图形的面积例2如图2，长方形ABCD的长为a，宽为b，E、F分别是BC和CD的中点，DE、BF交于点G，求四边形ABGD的面积.图2
