1/9第一章静电场§3高斯定理（P70）1.设一半径为5厘米的圆形平面，放在场强为300牛顿/库仑的匀强电场中，试计算平面法线与场强的夹角取下列数值时通过此平面的电通量：⑴0；⑵30；⑶90；⑷120；⑸180。解：由cosESe可得：⑴CNme/36.275.00cos05.03002021⑵CNme/04.23375.030cos05.03002022⑶090cos05.0300023e⑷CNme/18.1375.0120cos05.03002024⑸CNme/36.275.0180cos05.030020252.均匀电场与半径为a的半球面的轴线平行，试用面积分计算通过此半球面的电通量。解：EaaEe223.如附图所示，在半径为1R和2R的两个同心球面上，分别均匀地分布电荷1Q和2Q，求：⑴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的场强分布；⑵若21QQ，情况如何？画出此情形的rE曲线。解：⑴由高斯定理iSqSdE0)(1得：Ⅰ区域内，1Rr01EⅡ区域内，21RrR2/920124rQEⅢ区域内，2Rr202134rQQE⑵当21QQ时01E，20124rQE，03E4.根据量子理论，氢原子中心是一个带正电eq的原子核（可以看成点电荷），外面是带负电的电子云。在正常状态（核外电子处在s态）下，电子云的电荷密度分布是球对称的：0/230)(areeeaqr式中0a为一常数（它相当于经典原子模型中s电子圆形轨道的半径，称为玻尔半径），求原子内的电场分布。解：原子内的电荷分布具有球对称性，因而原子内的电场也是球对称分布的。由高斯定理可得20()14()eeSEdSrEqrdV02223000144rraeeqrEqerdra022220002214raeqeErrraa5.实验表明：在靠近地面处有相当强的电场，E垂直于地面向下，大小约为100牛顿/库仑；在离地面5.1千米高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25牛顿/库仑。⑴试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度。⑵如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上电荷的面密度。3/9解：⑴设电荷的平均体密度为e，取圆柱形高斯面如图（1）（侧面垂直底面、底面S平行地面），上下底面处的场强分别为1E和2E，则通过高斯面的电场强度通量为2121()EdSESESEES高斯面S包围的电荷ieqhS由高斯定理210()ehSEES1330211()4.4310/eEECmh⑵设地面面电荷密度为e。由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图（2）。由高斯定理01iEdSq01eESS10208.8510/eECm6.半径为R的无穷长直圆筒面上均匀分布带电，沿轴线单位长度的电量为。求场强分布，并画rE曲线。解：电场分布具有轴对称性，作与圆筒共轴半径为r、长为l的圆柱形高斯面，由高斯定理可得012iEdSrlEq当rR时，0iq10E当rR时，iql202Er7.一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为1R和2R，筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度的电量分别为1和2。⑴求各区域内的场强分布；⑵若21，情况如何？画出此情形的rE曲线。S2ES1E（1）hE（2）4/9解：⑴由高斯定理01iEdSq可得当1rR时，10E当12RrR时，1202Er当2rR时，13302Er⑵当21时，代入⑴中可得10E，1202Er，30E8.半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为e。求场强分布，并画rE曲线。解：电场分布具有轴对称性，作与圆柱体共轴半径为r、长为l的圆柱形高斯面，由高斯定理可得012iEdSrlEq当rR时，2ieqrl202erlrlE102eEr当rR时，2ieqRl2202eREr9.设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示：2201)(arre5/9式中r是到轴线的距离，0是轴线上的e值，a是个常数（它是e减少到4/0处的半径）。求场强分布。解：作与圆柱体共轴半径为r、长为l的圆柱形高斯面，由高斯定理可得012iEdSrlEq02020011()21rerdVrldrra202202()arEar10.两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为e，求各区域的场强分布。解：电荷面密度为e的无限大均匀带电平面的场强为02eE由场的叠加原理可得两带电平面间的场强为20eE方向垂直带电平面由正电荷指向负电荷。两带电平面外侧的场强为130EE可以用高斯定理求出同样的结果（作垂直于带电平面的原柱形高斯面）。11.两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度都是e，求各处的场强分布。解：由场的叠加原理和无限大均匀带电平面的场强公式可得两带电平面间的场强为20E两带电平面外侧的场强大小为6/9130eEE方向垂直带电平面12.三个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别是1e、2e、3e。求下列情况各处的场强：⑴eeee321；⑵eee31，ee2；⑶eee31，ee2；...
