1/9高中同步测控优化训练(四)第二章极限(B卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.设f(x)=),0(e),0(2xxbx若0limxf(x)存在,则常数b的值是A.0B.1C.－1D.e分析:本题考查0limxxf(x)=a的充要条件是：0limxxf(x)=0limxxf(x)=a.解: 0limx(2x+b)=b,0limxex=1,又条件0limxf(x)存在,∴b=1.答案:B2.数列1,211,3211,43211,⋯,n43211,⋯的前n项和为Sn,则nlimSn等于A.0B.21C.1D.2分析:本题考查数列极限的求法.要求数列{an}的前n项和,应首先确定它的通项公式.解: an=)111(2)1(23211nnnnn,∴Sn=a1+a2+⋯+an=2(1－312121+⋯+12)111nnnn.∴nlimSn=nlim12nn=2.答案:D3.1limx(13113xx)等于A.0B.－1C.1D.不存在分析:本题考查函数0limxxf(x)的极限.若把x=－1代入函数解析式,解析式无意义,故应化简函数解析式,约去使它的分母为0的因式,再求解.2/9解:1limx(13113xx)=1limx)1)(1(3122xxxxx=1limx)1)(1()2)(1(2xxxxx=1limx)1()2(2xxx=1)1()1(212=－1.答案:B4.若数列{an}的通项公式是an=2)23()1(23nnnnn,n=1,2,⋯,则nlim(a1+a2+⋯+an)等于A.2411B.2417C.2419D.2425分析:an=),(22323),(2)23(23为偶数为奇数nnnnnnnnnn即an=).(3),(2为偶数为奇数nnnn∴a1+a2+⋯+an=(2－1+2－3+2－5+⋯)+(3－2+3－4+3－6+⋯).∴nlim(a1+a2+⋯+an)=241991-19141-1213-132-122-2-2-1-.答案:C5.设P(n)=1+3121+⋯+121n,在用数学归纳法证明P(n)＞2n的过程中,从P(k)到P(k+1)要添加的项是A.1211kB.k21C.121211kkD.12121kk+⋯+1211k分析:本题考查数学归纳法的应用.解题的关键是分清不等式左边的构成情况,显然它的分母由自变量取k时的第一项1按公差为1依次递增到2k－1共(2k－1)项.故当n=k+1时,它的分母应由1依次递增到2k+1－1共(2k+1－1)项,增加了2k项.3/9解: P(k)=1+3121+⋯+121k,∴P(k+1)=1+3121+⋯+12121121kkk+⋯+1211k=P(k)+k21121k+⋯+1211k.答案:D6.用记号“○+”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算,即a○+b=2ba.已知数列{xn}满足x1=0,x2=1,xn=xn－1○+xn－2(n≥3),则nlimxn等于A.0B.21C.32D.1分析:本题考查数列的极限.此题是信息迁移题,关键是如何求出数列{xn}的通项公式xn.解:由题意,可知xn=221nnxx,即2xn=xn－1+xn－2.整理、变形为2(xn－xn－1)=－(xn－1－xn－2),令bn－2=xn－1－xn－2,则bn－1=xn－xn－1.∴2bn－1=－bn－2,b1=x2－x1=1－0=1.∴数列{bn}是以1为首项,－21为公比的等比数列.∴bn=(－21)n-1,即xn+1－xn=(－21)n-1.∴x2－x1=(－21)0,x3－x2=(－21)1,x4－x3=(－21)2,⋯⋯xn－xn－1=(－21)n－2.将这n－1个等式两边分别相加,得xn－x1=(－21)0+(－21)1+⋯+(－21)n－2=)21(1)21(11n.∴xn=32［1－(－21)n-1］.∴nlimxn=nlim32［1－(－21)n-1］=32.答案：C7.设函数f(x)=),0(),0()(lgxxxx则下列结论不正确的是4/9A.10limxf(x)=1B.0limxf(x)=0C.1limxf(x)=1D.2limxf(x)=2分析:本题考查函数的左、右极限.因为f(x)的图象易得,可根据它的图象求解.其中y=lg(－x)与y=lgx的图象关于y轴对称.xyO11-10-1解:由图象可知0limxf(x)=0,而0limxf(x)不存在,所以0limxf(x)不存在.答案:B8.nlim(aa21)n=0,则a的取值范围是A.a=1B.a＜－1或a＞31C.－1＜a＜31D.a＜－31或a＞1分析:本题考查极限nlimqn=0,|q|＜1.要求a的范围,可列a的不等式,要注意分式不等式的解法.解法一: nlim(aa21)n=0,∴|aa21|＜10|2||1|aaa0)1(422aaa.0,311aaa或∴a＜－1或a＞31.解法二:本题可利用特殊值代入法,当a=1时成立,排除C、D.再令a=21, nlim(1－21)n=0成立,∴排除A.答案:B9.已知f(x)=x2,则0limxxxfxxf)()(等于A.xB.2xC.2xD.－x21分析:本题考查函数0limxxf(x).当把x=x0代入函数解析式f(x)有意义时,可采用直接代入法求极限.5/9解:0limxxxfxxf)()(=0limxxxxx22)(=0limxxxxx2)(2=0limx(2x+Δx)=2x.答案:B10.nlim22322222CCC321nn等于A.0B.1C.2D.3分析:本题考查数列的极限.要掌握二项式系数的一个性质：mnmnmn11CCC.解: 分子1+22+32+⋯+n2=61n(n+1)(2n+1),分母22C+23C+⋯+2Cn=33C+23C+24C+⋯+2Cn=34C+24C+25...
