焦半径、焦点弦、焦点三角形的巧妙应用提示：会推导、会运用，可以简化运算（一）焦半径有两种计算方式：根据离心率、坐标；根据离心率、焦准距、倾斜角。1）焦半径根据离心率、坐标计算，焦半径的代数形式椭圆：（图1）（图2）F1、F2为椭圆的焦点，椭圆的一点A（x，y），A与F1、F2的线段AF1、AF2叫做焦半径，分别设为r1、r2，根据椭圆第二定义有：2111'()''AFraerAAexeaexAAAAc左焦半径2222'()''AFraerAAexeaexAAAAc右焦半径椭圆的焦半径：左加右减。长轴在y轴上可以比照，易得上减下加。左边下边都为负，不足都要加。双曲线：（图3）（图4）双曲线为双支，焦半径可能在一支上，也可能在两支上。在一支上时，称之为内焦半径，通常也叫焦半径。在两支上叫外焦半径。以焦点在左支上为例，推导左焦半径公式。设内焦半径AF1为r1，根据双曲线第二定义有：2111'(''''')()''FAraerAAeAAAAexeaexAAAAc同理，右支2211'()''FAraerAAexeaexAAAAc双曲线焦半径，与椭圆有两点相反，左减右加，半长轴取反。实轴在y轴上，可以比照，易得上加下减。联想特征：左边下边都为负，要减一起减。可以从图形上理解，双曲线的左半支相当于抛物线的右半支。以左焦点为起点的外焦半径，根据双曲线第二定义有：2122'(""')()''FBraerBBeBBBBexeaexBBBBc同理，以右焦点为起点的外焦半径公式：2222'()''FBraerBBexeaexBBBBc双曲线外焦半径，与椭圆相同。不作要求，高考中未见。抛物线：抛物线22(0)ypxp，C(x,y)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=|x|+2p。例1（2000年高考（理工）22题）已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段ACuuur所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当2334，求双曲线的离心率的取值范围。解析：这是一道高考压轴题，难度较大。建立坐标系，给出A、B坐标，由|AB|=2|CD|和对称性可知C的坐标为（,2ch），h为梯形的高。由定比分点公式可求出E的坐标，而E、C都在双曲线上，代入双曲线方程。这是常规处理方式，很费事。常规解法见。这里用焦半径概念求解。根据向量知识或定比分点公式，先求出E、C的横坐标，再求焦半径AE、AC，这样，只用处理和c的关系，关系简单纯粹。AE=Eexa，AC=Cexa，EC=AC-AE=()2CEexxa，()2ECEexaAEECexxa将(2)212(1)Ecccx，2Ccx代入上式，则(2)2(1)(2)[]222(1)ceaccea即222(2)12132(1)21(2)11[]222(1)eee。再由2334，得到3341，372101，即710e。2）焦半径根据离心率、焦准距、倾斜角计算，焦半径的统一公式长焦半径r=1cosepe，短焦半径r=1cosepe。根据图象判断，如椭圆的左上支，椭圆的右下支，就是长焦半径，无需记忆。同样，双曲线、抛物线也是根据图象判断长短。外焦半径，只有双曲线才有，比较复杂，且高考中，暂未发现此类题目，只简单介绍。（图5）（图6）内外焦半径推导如下：椭圆的左半边、双曲线右支、开口向右的抛物线的内分焦半径推导：111cos1cosAFAFAFAFepeAFAAAAAMMApAFe（*）椭圆的右半边、双曲线左支、开口向左的抛物线的内分焦半径推导：111cos1cosBFBFBFBFepeBFBBBBNBNBpBFeBF也可根据AF直接写出，为线段与正方向的夹角，这时为+π。外分焦半径，仅双曲线拥有，这里以从左焦点伸向右支为例(不作要求)：11coscos1AFAFAFepeAFAAAMAMAFpeP叫焦准距，p=2bc（椭圆、双曲线）。例2（2012江苏高考19题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）。已知（1，e）和（e，32）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率。（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于X轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2、BF1交于点P。（i）若AF1-BF2=62，求直线AF1的斜率；（ii）求证PF1+PF2是定值。解析：这道题压轴题，很难，据闻得分率很低。（1）代入两已知点易求得a、b的值；（2）的（i）按通法应设出AF1、BF2方程，分别与椭圆方程联立，得出AF1、BF2的长。可设x=my-1或x=my+1。（ii）一看就知可能要用平面几何的平行线性质。显然用焦半径的统一公式或者焦半径的代数形式能简化运算。解：（1）将两已知点代入椭圆方程有22222222222222242111123314411eababaababeababab所以椭圆方程是2212xy。（2）解一：焦半径的...
