函数综合性大题21.已知函数（1）求在区间上的最大值（2）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：（1）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（2）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为1.设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为．（1）求证：；（2）若函数的递增区间为，求的取值范围；（3）若当时（k是与无关的常数），恒有，试求k的最小值．解：（1），由题意及导数的几何意义得，（1），（2）又，可得，即，故由（1）得，代入，再由，得，（3）将代入（2）得，即方程有实根．故其判别式得，或，（4）由（3），（4）得；（2）由的判别式，知方程有两个不等实根，设为，又由知，为方程（）的一个实根，则有根与系数的关系得，当或时，，当时，，故函数的递增区间为，由题设知，因此，由（Ⅰ）知得的取值范围为；（3）由，即，即，因为，则，整理得，设，可以看作是关于的一次函数，由题意对于恒成立，故即得或，由题意，，故，因此的最小值为．2.已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．（Ⅰ）设，试求函数的表达式；（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．.解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，，切线的方程为：，又切线过点，有，即，………………………………………………（1）同理，由切线也过点，得．…………（2）由（1）、（2），可得是方程的两根，………………（*），把（*）式代入,得,因此，函数的表达式为．（Ⅱ）当点、与共线时，，＝，即＝，化简，得，，．………………（3）把（*）式代入（3），解得．存在，使得点、与三点共线，且．（Ⅲ）易知在区间上为增函数，，则．依题意，不等式对一切的正整数恒成立，，即对一切的正整数恒成立，．，，．由于为正整数，．又当时，存在，，对所有的满足条件．因此，的最大值为．3.已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且方程f(x)=2x有等根新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m，n(m＜n＝，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆、解新疆王新敞特级教师源源源源源源http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/源源源源源源特级教师王新敞新疆（1） 方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆由f(x–1)=f(3–x)知此函数图象的对称轴方程为x=–=1得a=–1，故f(x)=–x2+2x新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆……………………………………6分（2）f(x)=–(x–1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1∴n≤时，f(x)在［m,n］上为增函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆若满足题设条件的m,n存在，则…………………………12分又m＜n≤,∴m=–2,n=0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8...
