倍长中线+截长补短VIP专享VIP免费

ABCDEMN倍长中线巧解题中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明．一、证明线段不等例1如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD变式1：如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+AC>AD+AE二、证明线段相等例2如图2，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．变式2：如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求证：△DEF为等腰直角三角形1EBDCA图1A23GBEDCF1H图2GABCDEHP21ABECFDGNHGFE2BDC1MA3三、求线段的长例3如图3，△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，试求EF的长．（超前班选作）四、证明线段倍分例4如图4，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．五、证明两直线垂直变式：如图5，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．例5：如图，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：AB⊥AD。2F23AD1BEC图4AＡGBDFE1C2图3ABDECADBCE图2-1“截长补短法”在几何证明问题中的运用例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.例2.如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.例4.已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.练习：1、已知，如右图：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC.求证：AC+CD=AB3ABCD图1-1ABCDP12N图3-1DCBA12图4-1ABDCABDCDABCFE2、已知：如右图，AC‖BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过E点，求证：AB=AC+BD．3.已知：如下左图，D是EF的中点,BE=CF,求证：△ABC是等腰三角形。4.已知：如下中图，AD平分∠BAC,AB⊥BD,∠BAC=2∠C,求证:AC=2AB5.已知：如下右图，∠BED=∠CAD,D是BC的中点,求证:BE=AC4BCADEACDEB