数形结合思想的应用VIP专享VIP免费

把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种“数”与“形”相互转化的解题策略，就是数形结合的思想.华罗庚先生说过:数形本是两依倚,焉能分作两边飞.数缺形时少直观,形少数时难入微.华罗庚(1910～1985)数学家中科院院士从两道简单的例子谈数学思想与方法(一)(10)(1)，，(1)(01)，，(1)(1)，，(10)(01)，，()fx(0)，(1)0f()()0fxfxx设奇函数在上为增函数，且则不等式的解集为（）(08全国Ⅰ理)A．B．C．D．()()0fxfxx2()0fxx()fx解：依题意，可画出图象的草图如右下.可化为从而选D.又不等式(),fxx即异号，yxo1-110xy从两道简单的例子谈数学思想与方法(二)100xyx若实数x、y满足是（）A.(0,1)B.(0,1］C.(1,+∞)D.［1,+∞)yx(08福建理)，则的取值范围解：首先画出不等式组所确定的可行域（如图所示的阴影区域）.ykxyxykx设，ykx则(实现了由数到形的转化)1k由图象可知，当时，ykx直线与可行域有公共点，从而选C.yxy=|x|y=axo【例1】（07安徽）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）xRxax≥a令y=|x|和y=ax，在同一坐标系中画出它们的图象，1a≤xax≥易知，当时有.【分析及解】本题若讨|x|，则解法比较复杂.若能联想到函数的图象，则问题就显得直观易解.评注：本例就是把数量关系的研究转化为图形性质的研究的一个范例.亦即由“数”到“形”的转化.把解不等式的问题转化为根据图象判断函数值大小的问题，体现了数形结合和函数思想.1a1a≤1a1a≥(A)(B)(C)(D)uv11，loglogloglogaaaauvauava22221logauv【例2】已知且求的最大值和最小值.xyxy1140022，xuyvaaloglog，【分析及解】令，则已知式可化为tuvxyxyalog00，再设yxtxy00，由图可见，则当线段与圆弧相切时，截距t取最大值当线段端点是圆弧端点时，t取最小值tmin13（如图中CD位置）.则问题转化为:当线段和圆弧有公共点时，求t的最值问题.tmax222（如图中AB位置）；yxoABCDt评注：曲线与方程是数形结合思想的一种表现形式.将代数问题转化为判断图形位置关系的几何问题，是数形结合的经典应用.运用『数形结合』思想解题的两种主要渠道1.函数与它的图象：当问题涉及一个主元时，可以构造一个或多个函数，利用函数的图象及性质解决问题；2.曲线与方程：当问题涉及二个主元时，可以构造成一个或多个曲线的方程，利用曲线的几何性质解决问题.yxy=xy=log2xoy=3-xy=2xABM【例3】方程和的解分别是和，求的值.2log30xx230xx1x2x12xx图象与直线的交点A、B的横坐标（如图所示）又函数和互为反函数，其图象关于直线y=x对称，2logyx2xy而直线y=x与直线y=3-x垂直，故点A、B关于直线y=x对称，∴直线y=x与直线y=3-x的交点M为线段AB的中点.易求得M的坐标为33(,)22，所以32021xxx00(,)xy评注：本例体现了函数思想和数形结合，首先是由数到形，然后根据互为反函数图象间的关系得到数量关系式.2logyx2xy【解】在坐标系中分别画出函数和的图象与直xy321,xx2logyx2xy线，则分别是函数与的yxo1114m21log04mxxm20,2x例4：已知不等式在上恒成立，求的取值范围.21log4mxx解：原不等式可化为2121,log,4myxyx令20,2x12yym求的取值范围，使在上恒成立.22112log242m则问题转化为1422m1m由图象知ffxfxf21xfy【例3】（2005年辽宁）已知是定义在R上的单调函数，xfy【分析及解】如果采用代数运算，则无所适从，如果画出单调函数的示意图象，由,21,xx可断定横坐标为的点，至少有一个在横坐标为的点0的外部，根据定比分点的性质，有,1,21xx12,1xx21.1xx实数ffxfxf21若，则（）.00101(A)(B)(C)(D)f()f()yxox1x2f(x2)f(x1)评注：本例由单调函数的图象直观地表述了x1...