高中数学 2.5 夹角的计算同步精练 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

高中数学2.5夹角的计算同步精练北师大版选修2-11．已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1夹角的正弦值等于()A.B.C.D.2．如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点，则平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值是()A．－B.C．－D.3．已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，DC的中点，则异面直线AE与D1F的夹角为()A.B.C.D.4．把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形的中心，则折起后，直线OE与OF的夹角的大小是()A.B.C.D.5．在三棱锥PABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝，则PA与底面ABC的夹角为______．6．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD的夹角为，则平面FBE与平面DBE夹角的余弦值是________．7．已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的所有棱长都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝，E，F分别为A1B1与BB1的中点，求异面直线BE与CF夹角的余弦值．8．如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝，SA＝SB＝.(1)求证：SA⊥BC；(2)求直线SD与平面SAB夹角的正弦值．(提示：用向量法求解)19．如图，在三棱锥PABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.(1)求证：PC⊥AB；(2)求平面ABP与平面APC夹角的余弦值．2参考答案1.解析：如图，作B1D⊥A1C1，垂足为D，连接AD. ABCA1B1C1为正三棱柱，∴B1D⊥平面ACC1A1，∴∠B1AD为所求的AB1与侧面ACC1A1的夹角．设AB＝2a，则B1D＝a，AB1＝a.∴sin∠B1AD＝＝.答案：A2.解析一：取SC的中点M，连接AM，OM，OA，由题意知SO＝OC，SA＝AC，得OM⊥SC，AM⊥SC.所以∠OMA为二面角ASCB的平面角．由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O，得AO⊥平面SBC.所以AO⊥OM.又AM＝SA，AO＝SA，故sin∠AMO＝＝＝，cos∠AMO＝.故平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值为.解析二：连接OA，由题易知AO，BO，SO两两垂直，则以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.取SC的中点M，连接AM，OM，设B(1,0,0)，则C(－1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)．SC的中点M－，0，，所以＝，0，－，＝，1，－，＝(－1,0，－1)，3所以·＝0，·＝0.故MO⊥SC，MA⊥SC，〈，〉等于二面角ASCB的平面角．cos〈，〉＝＝，所以平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值为.答案：B3.解析：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,0)，A(2,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,2)．∴＝(0,2，－1)，＝(0,1,2)，∴·＝0，∴⊥.答案：D4.解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2.则F，，0，E0，－，，∴＝，，0，＝0，－，，∴cos∠EOF＝cos〈，〉＝＝－，设直线OE与OF的夹角为θ，则cosθ＝|cos∠EOF|＝，即θ＝.故直线OE与OF的夹角为.答案：A5.解析：取BC的中点O，连接PO，AO.由题意可令PA＝PB＝PC＝BC＝a，则PO＝a.又BC＝a，∠BAC＝，且O为BC的中点，所以AO＝.4又PO2＋OA2＝PA2，所以PO⊥AO.所以cos∠PAO＝，所以∠PAO＝.因为PO⊥BC，且AO∩BC＝O，所以PO⊥平面ABC，即∠PAO为PA与底面ABC的夹角．答案：6.解析：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．因为BE与平面ABCD的夹角为，即∠DBE＝，所以＝.由AD＝3可知DE＝3，AF＝，则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)．所以＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，即－3y＋z＝0，3x－2z＝0，令z＝，则n＝(4,2，)．由题意知AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，＝(3，－3,0)．所以cos〈n，〉＝＝＝.故由题意知平面FBE与平面DBE夹角的余弦值为.答案：7.解：如图所示，设＝a，＝b，＝c，5则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝.∴a·b＝b·c＝a·c＝.而＝＋＝－a＋c，＝＋＝－b＋c，∴||＝＝，||＝.∴·＝－a＋c·－b＋c＝a·b－a·c－b·c＋c2＝.cos〈，〉＝＝.∴异面直线BE与CF的夹角的余弦值为.8.(1)证明：如图，作SO⊥BC，垂足为O，连接AO.由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD.因为SA＝SB，所以AO＝BO.又∠...