2018高考数学异构异模复习考案第三章导数及其应用3.2.2函数的极值与最值撬题文1．对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是()A．－1是f(x)的零点B．1是f(x)的极值点C．3是f(x)的极值D．点(2,8)在曲线y＝f(x)上答案A解析由A知a－b＋c＝0；由B知f′(x)＝2ax＋b,2a＋b＝0；由C知f′(x)＝2ax＋b，令f′(x)＝0可得x＝－，则f＝3，则＝3；由D知4a＋2b＋c＝8.假设A选项错误，则得满足题意，故A结论错误．同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A.2．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(b，c，d为常数)，当x∈(0,1)时，f(x)取得极大值，当x∈(1,2)时，f(x)取得极小值，则2＋(c－3)2的取值范围是()A.B．(，5)C.D．(5,25)答案D解析因为f′(x)＝3x2＋2bx＋c，f′(x)的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以f′(0)>0，f′(1)<0，f′(2)>0，即作出可行域如图中阴影部分所示(不包括b轴)，2＋(c－3)2表示可行域内一点到点P的距离的平方，由图象可知，P到直线3＋2b＋c＝0的距离最小，即2＋(c－3)2的最小值为2＝5，P到点A的距离最大，此时2＋(c－3)2＝25，因为可行域的临界线为虚线，所以所求范围为(5,25)，故选D.3．若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－，1)B．[－，1)C．[－2,1)D．(－2,1)答案C解析令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，且x＝－1为函数f(x)的极大值点，x＝1为函数f(x)的极小值点．函数f(x)在区间(a,6－a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6－a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a<1<6－a2且f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2，解得－
0，f(x)单调递增，故当x＝2kπ＋2π(k∈Z)时，f(x)取极小值，其极小值为f(2kπ＋2π)＝－e2kπ＋2π(k∈Z)，又0≤x≤2015π，所以f(x)的各极小值之和S＝－e2π－e4π－…－e2014π＝－，故选D.5．已知点M在曲线y＝3lnx－x2上，点N在直线x－y＋2＝0上，则|MN|的最小值为________．答案2解析当点M处的曲线的切线与直线x－y＋2＝0平行时|MN|取得最小值．令y′＝－2x＋＝1，解得x＝1，所以点M的坐标为(1，－1)，所以点M到直线x－y＋2＝0的距离为＝2，即|MN|的最小值为2.6．函数f(x)＝x3－3x2＋6在x＝________时取得极小值．答案2解析依题意得f′(x)＝3x(x－2)．当x<0或x>2时，f′(x)>0；当01－1＝0，所以存在x0∈(1,2)，使得h(x0)＝0.因为h′(x)＝lnx＋＋1＋，所以当x∈(1,2)时，h′(x)>1－>0，当x∈[2，＋∞)时，h′(x)>0，所以当x∈(1，＋∞)时，h(x)单调递增．所以k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根．(3)由(2)知方程f(x)＝g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0，且x∈(0，x0)时，f(x)g(x)，所以m(x)＝当x∈(0，x0]时，若x∈(0,1]，m(x)≤0；若x∈(1，x0]，由m′(x)＝lnx＋＋1>0.可知00，m(x)单调递增；x∈(2，＋∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减．可知m(x)≤m(2)＝，且m(x0)
